C thuộc đường thẳng y-4=0
=>C(x;4)
G là trọng tâm của ΔABC
=>\(\begin{cases}x_{A}+x_{B}+x_{C}=3\cdot x_{G}\\ y_{A}+y_{B}+y_{C}=3\cdot y_{G}\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}3\cdot x_{G}=1+5+x=x+6\\ y_{G}\cdot3=4+1+\left(-2\right)=4-1=3\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}x_{G}=\frac{x+6}{3}\\ y_{G}=1\end{cases}\)
G thuộc đường thẳng 3x-2y+6=0
=>\(3\cdot\frac{x+6}{3}-2\cdot1+6=0\)
=>x+6-2+6=0
=>x+10=0
=>x=-10
=>C(-10;4)
A(1;1); B(5;-2); C(-10;4)
\(AB=\sqrt{\left(5-1\right)^2+\left(-2-1\right)^2}=5\)
\(AC=\sqrt{\left(-10-1\right)^2+\left(4-1\right)^2}=\sqrt{130}\)
\(BC=\sqrt{\left(-10-5\right)^2+\left(4+2\right)^2}=3\sqrt{29}\)
Xét ΔABC có \(cosBAC=\frac{AB^2+AC^2-BC^2}{2\cdot AB\cdot AC}=\frac{25+130-261}{2\cdot5\cdot\sqrt{130}}=\frac{-53}{5\sqrt{130}}\)
=>\(\sin BAC=\sqrt{1-\left(-\frac{53}{5\sqrt{130}}\right)^2}=\frac{21}{5\sqrt{130}}\)
Diện tích tam giác BAC là:
\(S_{BAC}=\frac12\cdot AB\cdot AC\cdot\sin BAC=\frac12\cdot\frac{21}{5\sqrt{130}}\cdot5\cdot\sqrt{130}=\frac{21}{2}\)
