Question

Bài 12: Cho tam giác \(ABC\) cân tại \(A\), có đường trung tuyến \(AM\).
a) Chứng minh \(\triangle ABM = \triangle ACM\)
b) Vẽ \(MH \perp AB\) tại \(H\), \(MK \perp AC\) tại \(K\). Chứng minh \(\triangle AHK\) cân.
c) Từ \(M\) kẻ đường thẳng song song với \(AB\) cắt \(AC\) tại \(I\), \(AM\) và \(BI\) cắt nhau tại \(G\). Chứng minh \(3.BG = 2.BI\)

Answer 1

a: Xét ΔAMB và ΔAMC có

AM chung

MB=MC

AB=AC

Do đó: ΔAMB=ΔAMC

b: ΔAMB=ΔAMC

=>\(\widehat{MAB}=\widehat{MAC}\)

Xét ΔAHM vuông tại H và ΔAKM vuông tại K có

AM chung

\(\widehat{HAM}=\widehat{KAM}\)

Do đó: ΔAHM=ΔAKM

=>AH=AK

=>ΔAHK cân tại A

c: Ta có: MI//AB

=>\(\widehat{IMC}=\widehat{ABC}\)(hai góc đồng vị)

mà \(\widehat{ABC}=\widehat{ACB}\)(ΔABC cân tại A)

nên \(\widehat{IMC}=\widehat{ICM}\)

=>IM=IC

Ta có: IM//AB

=>\(\widehat{IMA}=\widehat{MAB}\)

mà \(\widehat{MAB}=\widehat{IAM}\)(cmt)

nên \(\widehat{IAM}=\widehat{IMA}\)

=>IA=IM

mà IM=IC

nên IA=IC

=>I là trung điểm của AC

Xét ΔABC có

BI,AM là các đường trung tuyến

BI cắt AM tại G

Do đó: G là trọng tâm của ΔABC

=>\(BG=\dfrac{2}{3}BI\)

=>3BG=2BI