Bài 3. Cho \( \triangle ABC \) cân tại \( A \) có \( \widehat{A} < 90^0 \). Vẽ \( BE \perp AC \) tại \( E \) và \( CD \perp AB \) tại \( D \).
a) Chứng minh \( BE = CD \) và \( \triangle ADE \) cân tại \( A \).
b) Gọi \( H \) là giao điểm của \( BE \) và \( CD \). Chứng minh \( AH \) là tia phân giác của \( \widehat{BAC} \).
c) Chứng minh \( DE \parallel BC \).
d) Gọi \( M \) là trung điểm cạnh \( BC \). Chứng minh ba điểm \( A, H, M \) thẳng hàng.
a: Xét ΔAEB vuông tại E và ΔADC vuông tại D có
AB=AC
\(\widehat{EAB}\) chung
Do đó: ΔAEB=ΔADC
=>BE=CD và AE=AD
Xét ΔADE có AD=AE
nên ΔADE cân tại A
b: Xét ΔADH vuông tại D và ΔAEH vuông tại E có
AH chung
AD=AE
Do đó: ΔADH=ΔAEH
=>\(\widehat{DAH}=\widehat{EAH}\)
=>AH là phân giác của góc BAC
c: Xét ΔABC có \(\dfrac{AD}{AB}=\dfrac{AE}{AC}\)
nên DE//BC
d: Ta có: ΔADH=ΔAEH
=>DH=EH
Ta có: DH+HC=DC
HE+HB=EB
mà DC=EB và DH=HE
nên HB=HC
=>H nằm trên đường trung trực của BC(1)
Ta có: AB=AC
=>A nằm trên đường trung trực của BC(2)
Ta có: MB=MC
=>M nằm trên đường trung trực của BC(3)
Từ (1),(2),(3) suy ra A,H,M thẳng hàng
