Question

Bài 6: Cho đường tròn (O; R) và điểm M nằm ngoài (O). Từ M vẽ các tiếp tuyến MA, MB của (O) (A và B là các tiếp điểm).

a) Chứng minh: MAOB là một tứ giác nội tiếp.

b) Vẽ đường kính AC của (O). Chứng minh: \(OM \parallel BC\).

c) Đường thẳng CM cắt (O) tại F (điểm F khác điểm C). Tia AF và tia CB cắt nhau tại K. Chứng minh : \(CB \cdot CK + AF \cdot AK = 4R^2\)

Answer 1

a. Em tự giải

b.

Theo t/c hai tiếp tuyến cắt nhau ta có `MA=MB`

Lại có `OA=OB=R` (gt)

\(\Rightarrow OM\) là đường trung trực của AB

\(\Rightarrow OM\perp AB\) (1)

Do AC là đường kính và B thuộc đường tròn

\(\Rightarrow\widehat{ABC}=90^0\) (góc nt chắn nửa đường tròn)

\(\Rightarrow BC\perp AB\) (2)

Từ (1);(2) \(\Rightarrow OM||BC\)

c.

Gọi D là giao điểm CM và AB, E là giao điểm KD và AC

Do \(\widehat{ABC}=\widehat{AFC}=90^0\) (nt chắn nửa đường tròn)

\(\Rightarrow D\) là trực tâm tam giác AKC \(\Rightarrow KE\) là đường cao thứ 3

\(\Rightarrow KE\perp AC\)

Xét hai tam giác ABC và KEC có:

\(\widehat{C}\) là góc chung

\(\widehat{ABC}=\widehat{KEC}=90^0\)

\(\Rightarrow\Delta ABC\sim\Delta KEC\left(g.g\right)\)

\(\Rightarrow\dfrac{AC}{CK}=\dfrac{BC}{EC}\Rightarrow CB.CK=AC.EC\) (3)

Tương tự ta có \(\Delta KEA\sim\Delta CFA\left(g.g\right)\Rightarrow\dfrac{AK}{AC}=\dfrac{AE}{AF}\Rightarrow AF.AK=AC.AE\) (4)

(3);(4) \(\Rightarrow CB.CK+AF.AK=AC.EC+AC.AE=AC.\left(EC+AE\right)=AC^2=4R^2\)

Answer 2