Question

Câu 6: (2,5đ) Cho tam giác \( ABC \) nhọn (\( AB < AC \)). Hai đường cao \( AD \) và \( BE \) cắt nhau tại \( H \).

a) Chứng minh \( \triangle ADC \sim \triangle BEC \) từ đó suy ra \( AD \cdot BC = AC \cdot BE \).

b) Chứng minh \( \widehat{CED} = \widehat{CBA} \).

c) Kẻ đường cao \( CF \) của \( \triangle ABC \). Chứng minh tia \( EB \) là tia phân giác của \( \widehat{DEF} \)

Answer 1

 

a: Xét ΔCDA vuông tại D và ΔCEB vuông tại E có

\(\widehat{DCA}\) chung

Do đó: ΔCDA~ΔCEB

=>\(\dfrac{AD}{EB}=\dfrac{CA}{CB}\)

=>\(AD\cdot BC=AC\cdot EB\)

b: ΔCDA~ΔCEB

=>\(\dfrac{CD}{CE}=\dfrac{CA}{CB}\)

=>\(\dfrac{CD}{CA}=\dfrac{CE}{CB}\)

Xét ΔCDE và ΔCAB có

\(\dfrac{CD}{CA}=\dfrac{CE}{CB}\)

\(\widehat{DCE}\) chung

Do đó: ΔCDE~ΔCAB

=>\(\widehat{CED}=\widehat{CBA}\)

c: Xét ΔCAB có

AD,BE là các đường cao

AD cắt BE tại H

Do đó: H là trực tâm của ΔCAB

=>CH\(\perp\)AB

mà CF\(\perp\)AB

nên C,H,F thẳng hàng

Xét tứ giác CEHD có \(\widehat{CEH}+\widehat{CDH}=90^0+90^0=180^0\)

nên CEHD là tứ giác nội tiếp

Xét tứ giác AEHF có \(\widehat{AEH}+\widehat{AFH}=90^0+90^0=180^0\)

nên AEHF là tứ giác nội tiếp

Ta có: \(\widehat{DEH}=\widehat{DCH}\)(CEHD nội tiếp)

\(\widehat{FEH}=\widehat{FAH}\)(AEHF nội tiếp)

mà \(\widehat{DCH}=\widehat{FAH}\left(=90^0-\widehat{CBA}\right)\)

nên \(\widehat{DEH}=\widehat{FEH}\)

=>EH là phân giác của góc DEF