Question

Câu 6: (2,5đ) Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) có đường cao \(AH\).

a) Chứng minh: \(\triangle ABC \sim \triangle HBA\). Từ đó suy ra \(AB^2 = BH \cdot BC\).

b) Gọi \(M\) là trung điểm \(AB\). Kẻ \(HE \perp AC\) tại \(E\), \(CM\) cắt \(HE\) tại \(N\). Chứng minh \(HN = NE\).

c) Tia phân giác của \(EHC\) cắt \(AC\) tại \(I\). Chứng minh: \(\frac{S_{EHI}}{S_{CHI}} = \frac{BH}{BA}\).

Answer 1

a: Xét ΔABC vuông tại A và ΔHBA vuông tại H có

\(\widehat{ABC}\) chung

Do đó: ΔABC~ΔHBA

=>\(\dfrac{BA}{BH}=\dfrac{BC}{BA}\)

=>\(BA^2=BH\cdot BC\)

b: Ta có: HE\(\perp\)AC

AB\(\perp\)AC

Do đó: HE//AB

Xét ΔCMA có EN//MA

nên \(\dfrac{EN}{MA}=\dfrac{CN}{CM}\left(1\right)\)

Xét ΔCMB có NH//MB

nên \(\dfrac{NH}{MB}=\dfrac{CN}{CM}\left(2\right)\)

Từ (1),(2) suy ra \(\dfrac{EN}{MA}=\dfrac{HN}{MB}\)

mà MA=MB(M là trung điểm của AB)

nên EN=NH

c: Xét ΔCEH có HI là phân giác

nên \(\dfrac{IE}{IC}=\dfrac{HE}{HC}\)

=>\(\dfrac{S_{EHI}}{S_{CHI}}=\dfrac{HE}{HC}\left(1\right)\)

Xét ΔCAB có HE//AB

nên \(\dfrac{HE}{AB}=\dfrac{CH}{BC}\)

=>\(\dfrac{HE}{HC}=\dfrac{AB}{BC}\left(2\right)\)

mà \(\dfrac{AB}{BC}=\dfrac{BH}{BA}\left(BA^2=BH\cdot BC\right)\left(3\right)\)

nên từ (1),(2),(3) suy ra \(\dfrac{S_{EHI}}{S_{CHI}}=\dfrac{BH}{BA}\)