Question

Câu 6: (2,5đ) Cho \( \triangle ABC \) vuông tại \( A \) \((AB < AC)\) có \( AH \) là đường cao.

a) Chứng minh: \( \triangle ABC \sim \triangle HAC \) và \( CA^2 = CH \cdot CB \)

b) Trên tia đối của tia \( AB \) lấy điểm \( D \) sao cho \( \angle BCD = 90^\circ \). Vẽ \( AK \perp CD \) tại \( K \). Chứng minh: \( \triangle CHK \sim \triangle CDB \)

c) Chứng minh: \( \frac{CK}{CD} + \frac{CH}{CB} = 1 \)

Answer 1

a: Xét ΔABC vuông tại A và ΔHAC vuông tại H có

\(\widehat{ACB}\) chung

Do đó: ΔABC~ΔHAC

=>\(\dfrac{CA}{CH}=\dfrac{CB}{CA}\)

=>\(CA^2=CH\cdot CB\)(2)

b: Xét ΔCKA vuông tại K và ΔCAD vuông tại A có

\(\widehat{KCA}\) chung

Do đó: ΔCKA~ΔCAD

=>\(\dfrac{CK}{CA}=\dfrac{CA}{CD}\)

=>\(CK\cdot CD=CA^2\left(1\right)\)

Từ (1),(2) suy ra \(CK\cdot CD=CH\cdot CB\)

=>\(\dfrac{CK}{CB}=\dfrac{CH}{CD}\)

Xét ΔCKH vuông tại C và ΔCBD vuông tại C có

\(\dfrac{CK}{CB}=\dfrac{CH}{CD}\)

Do đó: ΔCKH~ΔCBD

c:

Xét ΔBAC vuông tại A và ΔBCD vuông tại C có

\(\widehat{ABC}\) chung

Do đó: ΔBAC~ΔBCD
=>\(\dfrac{AC}{CD}=\dfrac{BC}{BD}\)

=>\(CB\cdot CD=AC\cdot BD\)

\(\dfrac{1}{CB^2}+\dfrac{1}{CD^2}=\dfrac{CB^2+CD^2}{\left(CB\cdot CD\right)^2}=\dfrac{BD^2}{\left(AC\cdot BD\right)^2}=\dfrac{1}{AC^2}\)

 \(\dfrac{CK}{CD}+\dfrac{CH}{CB}=\dfrac{CA^2}{CD}:CD+\dfrac{CA^2}{CB}:CB\)

\(=\dfrac{CA^2}{CD^2}+\dfrac{CA^2}{CB^2}=CA^2\left(\dfrac{1}{CD^2}+\dfrac{1}{CB^2}\right)\)

\(=CA^2\cdot\dfrac{1}{CA^2}=1\)