Question

b) Tìm tất cả các số hữu tỉ \( x \) để \( K = x^2 - x + 1 \) là số chính phương.

Answer 1

Đặt \(K=x^2-x+1=a^2\) (a∈Z)

=>\(4x^2-4x+4=4a^2\)

=>\(4x^2-4x+1-4a^2+3=0\)

=>\(\left(2x+1\right)^2-\left(2a\right)^2=-3\)

=>\(\left(2x+1-2a\right)\left(2x+1+2a\right)=-3\)

=>(2x+1-2a;2x+1+2a)∈{(1;-3);(-3;1);(-1;3);(3;-1)}

TH1: \(\begin{cases}2x+1-2a=1\\ 2x+1+2a=-3\end{cases}\)

=>\(\begin{cases}2x+1-2a+2x+1+2a=1-3=-2\\ 2x+1-2a=1\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}4x+2=-2\\ 2x+1-2a=1\end{cases}\)

=>\(\begin{cases}4x=-4\\ 2a=2x+1-1=2x\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}x=-1\\ a=x=-1\end{cases}\) (nhận)

TH2: \(\begin{cases}2x+1-2a=-3\\ 2x+1+2a=1\end{cases}\)

=>\(\begin{cases}2x+1-2a+2x+1+2a=-3+1=-2\\ 2x+1-2a=-3\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}4x+2=-2\\ 2x+1-2a=-3\end{cases}\)

=>\(\begin{cases}4x=-2-2=-4\\ 2a=2x+1+3=2x+4\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}x=-1\\ a=x+2=-1+2=1\end{cases}\) (nhận)

TH3: \(\begin{cases}2x+1-2a=-1\\ 2x+1+2a=3\end{cases}\)

=>2x+1-2a+2x+1+2a=-1+3=2

=>4x+2=2

=>4x=0

=>x=0

2x+1+2a=3

=>\(2\cdot0+1+2a=3\)

=>2a=3-1=2

=>a=1(nhận)

=>Nhận

TH4: 2x+1-2a=3 và 2x+1+2a=-1

=>2x+1-2a+2x+1+2a=3-1

=>4x+2=2

=>4x=0

=>x=0

2x+1-2a=3

=>1-2a=3

=>2a=1-3=-2

=>a=-1(nhận)

Vậy: x∈{0;-1}