\(288=2^5.3^2\)
Theo đề bài ta có số lượng thừa số của biểu thức \(P\) là tích của \(10\) thừa số
Xét tính chia hết \(2^5\) của \(P\)
- Quan sát ta thấy trong 5 số nguyên \(a_1;a_2;a_3;a_4;a_5\) chắc chắn có ít nhất \(3\) số cùng tính chẵn lẻ
- Ví dụ \(3\) số đó là \(a_1;a_2;a_3\). Khi đó, \(\left(a_1-a_2\right);\left(a_1-a_3\right);\left(a_2-a_3\right)\) đều là số chẵn
\(\Rightarrow\left(a_1-a_2\right).\left(a_1-a_3\right).\left(a_2-a_3\right)⋮2^3\)
mà trong \(10\) thừa số của \(P\), luôn có ít nhất \(5\) thừa số là số chẵn
\(\Rightarrow P⋮2^3.2^2=2^5\left(1\right)\)
Xét tính chia hết \(3^2\) của \(P\)
- Trong \(5\) số nguyên \(a_1;a_2;a_3;a_4;a_5\), tồn tại ít nhất \(2\) số có cùng số dư khi chia cho \(3\) (nguyên lý Dirichlet)
- Ví dụ \(2\) số đó là \(a_1;a_2\). Khi đó \(\left(a_1-a_2\right)⋮3\), tương tự \(\left(a_3-a_4\right)⋮3\) (có cùng số dư khi chia cho \(3\))
\(\Rightarrow P⋮3^2=3.3\left(2\right)\)
\(\left(1\right);\left(2\right)\Rightarrow P⋮2^5.3^2\Rightarrow P⋮288\left(đpcm\right)\)
