Question

 

2) Cho 3 số \(x, y, z \neq 0\) thỏa mãn điều kiện \((x+y+z)^2 = x^2 + y^2 + z^2\). Tính giá trị biểu thức
\[ M = \frac{x^2}{x^2 + 2yz} + \frac{y^2}{y^2 + 2zx} + \frac{z^2}{z^2 + 2xy} \]

Answer 1

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz :

\(M=\dfrac{x^2}{x^2+2yz}+\dfrac{y^2}{y^2+2zx}+\dfrac{z^2}{z^2+2xy}\ge\dfrac{\left(x+y+z\right)^2}{x^2+2yz+y^2+2zx+z^2+2xy}\)

\(\Rightarrow M\ge\dfrac{\left(x+y+z\right)^2}{x^2+y^2+z^2+2\left(xy+yz+zx\right)}=\dfrac{\left(x+y+z\right)^2}{\left(x+y+z\right)^2}=1\)

Dấu '=' xảy ra khi và chỉ khi

\(\dfrac{x^2}{x^2+2yz}=\dfrac{y^2}{y^2+2zx}=\dfrac{z^2}{z^2+2xy}=\dfrac{x^2+y^2+z^2}{\left(x+y+z\right)^2}\) (Dãy số tỉ lệ bằng nhau)

mà theo đề bài \(\left(x+y+z\right)^2=x^2+y^2+z^2\)

\(\Rightarrow\dfrac{x^2}{x^2+2yz}=\dfrac{y^2}{y^2+2zx}=\dfrac{z^2}{z^2+2xy}=1\) (phù hợp với đề bài)

Vậy \(M=\dfrac{x^2}{x^2+2yz}+\dfrac{y^2}{y^2+2zx}+\dfrac{z^2}{z^2+2xy}=1\)