Question

36.12. Cho \(\triangle ABC\) vuông tại \(A\) và đường cao \(AH\). Gọi \(P, Q\) lần lượt là trung điểm của \(BH\) và \(AH\).

a) Chứng minh \(\triangle HAB \sim \triangle HCA\).

b) Chứng minh \(AH^2 = BH \cdot CH\).

c) Chứng minh \(\triangle BAP \sim \triangle ACQ\).

d) Chứng minh \(AP \perp CQ\).

Answer 1

a: Xét ΔHAB vuông tại H và ΔHCA vuông tại H có

\(\widehat{HAB}=\widehat{HCA}\left(=90^0-\widehat{HBA}\right)\)

Do đó: ΔHAB~ΔHCA

b: ΔHAB~ΔHCA

=>\(\dfrac{HA}{HC}=\dfrac{HB}{HA}\)

=>\(HA^2=HB\cdot HC\)

c: ΔHAB~ΔHCA
=>\(\dfrac{HB}{HA}=\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{2\cdot BP}{2\cdot AQ}\)

=>\(\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{BP}{AQ}\)

Xét ΔABP và ΔCAQ có

\(\dfrac{AB}{CA}=\dfrac{BP}{AQ}\)

\(\widehat{ABP}=\widehat{CAQ}\left(=90^0-\widehat{HAB}\right)\)

Do đó: ΔABP~ΔCAQ

d: ΔABP~ΔCAQ

=>\(\widehat{ACQ}=\widehat{BAP}\)

=>\(\widehat{ACQ}+\widehat{PAC}=90^0\)

=>PA\(\perp\)CQ