Question

Câu 1. Cho phương trình bậc hai (ẩn x): \(x^2 + ax + b = 0 \ (1)\). Biết rằng phương trình (1) có hai nghiệm \(x_1, x_2\) thỏa mãn \(x_1 - x_2 = 1\) và \(x_1^3 - x_2^3 = 7\). Tìm a và b.

Answer 1

\(x_1^3-x_2^3=7\)

\(\Leftrightarrow\left(x_1-x_2\right)^3+3x_1x_2\left(x_1-x_2\right)=7\)

Do \(x_1-x_2=1\)

\(\Rightarrow1^3+3x_1x_2.1=7\)

\(\Rightarrow x_1x_2=2\)

\(\Rightarrow\left(x_1+x_2\right)^2=\left(x_1-x_2\right)^2+4x_1x_2=1^2+4.2=9\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x_1+x_2=3\\x_1+x_2=-3\end{matrix}\right.\)

Theo hệ thức Viet: 

TH1: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=3\\x_1x_2=2\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=-3\\b=2\end{matrix}\right.\)

TH2: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=-3\\x_1x_2=2\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=3\\b=2\end{matrix}\right.\)