Question

[MD3] Trong không gian \(Oxyz\), Gọi \(S\) là tập hợp các giá trị \(m\) để đường thẳng \(d\) :
\[
\begin{cases}
x = 2 + mt \\
y = -2 + mt \\
z = 1 - t
\end{cases}
\]
tạo với đường thẳng \(\Delta\) :
\[
\begin{cases}
x = 2 + s \\
y = -1 - s \\
z = 1 + 2ms
\end{cases}
\]
một góc \(60^\circ\). Tính tích giá trị của các phần tử trong tập \(S\). (Kết quả viết dưới dạng số thập phân)

Answer 1

d nhận \(\overrightarrow{u_1}=\left(m,m,-1\right)\) là 1 vtcp

\(\Delta\) nhận \(\overrightarrow{u_2}=\left(1,-1,2m\right)\) là 1 vtcp

Hai đường thẳng tạo với nhau 1 góc 60 độ khi:

\(cos60^0=\dfrac{\left|\overrightarrow{u_1}.\overrightarrow{u_2}\right|}{\left|\overrightarrow{u_1}\right|.\left|\overrightarrow{u_2}\right|}=\dfrac{\left|m-m-2m\right|}{\sqrt{m^2+m^2+\left(-1\right)^2}.\sqrt{1^2+\left(-1\right)^2+\left(2m\right)^2}}\)

\(\Rightarrow\dfrac{\left|2m\right|}{\sqrt{\left(2m^2+1\right)\left(4m^2+2\right)}}=\dfrac{1}{2}\)

\(\Leftrightarrow16m^2=\left(2m^2+1\right)\left(4m^2+2\right)\)

\(\Leftrightarrow4m^4-4m^2+1=0\)

\(\Leftrightarrow m^2=\dfrac{1}{2}\)

\(\Rightarrow m=\pm\dfrac{1}{\sqrt{2}}\)