Trong không gian \(Oxyz\), cho mặt phẳng \((P)\):
\[
\frac{x}{1} + \frac{y}{2} + \frac{z}{2} = 1
\]
và đường thẳng \(d\):
\[
\frac{x-2}{1} = \frac{y-2}{2} = \frac{z-2}{2}
\]
Biết rằng trong mặt phẳng \((P)\) có hai đường thẳng \(d_1, d_2\) cùng đi qua điểm \(A(1; -1; 1)\) và cùng cách đường thẳng \(d\) một khoảng bằng 1. Tính \(\sin \varphi\) với \(\varphi\) là góc giữa hai đường thẳng \(d_1, d_2\).
\[
\frac{\sqrt{3}}{2} \quad \frac{3}{7} \quad 1 \quad \frac{1}{2}
\]
Theo đề bài ta có :
\(\overrightarrow{u_d}=\left(1;2;2\right);M\left(2;2;2\right)\in\left(d\right);A\left(1;-1;1\right)\)
\(\overrightarrow{AM}=\left(1;3;1\right)\)
\(\left[\overrightarrow{AM}.\overrightarrow{u_d}\right]=\left(4;-1;-1\right)\)
\(d\left(A;\left(d\right)\right)=\dfrac{\left|\left[\overrightarrow{AM}.\overrightarrow{u_d}\right]\right|}{\left|\overrightarrow{u_d}\right|}=\dfrac{\sqrt{4^2+\left(-1\right)^2+\left(-1\right)^2}}{\sqrt{1^2+2^2+2^2}}=\dfrac{3\sqrt{2}}{3}=\sqrt{2}\)
Vì \(A;d_1;d_2\in\left(P\right)\) và cách \(d\) một khoảng bằng 1, nên hình chiếu của \(d_1;d_2\) lên mặt phẳng vuông góc với \(d\) là hai tiếp tuyến của đường tròn tâm \(H\) bán kính \(1\)
\(\Rightarrow AH=d\left(A;\left(d\right)\right)=\sqrt{2}\) (\(H\) là hình chiếu vuông góc của điểm \(A\) xuống đường thẳng \(d\))
Gọi \(\alpha=\left(\widehat{AH;d_1}\right)=\left(\widehat{AH;d_2}\right)\), nên ta có :
\(sin\alpha=\dfrac{d\left(A;\left(d\right)\right)}{AH}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\)
\(\varphi=2\alpha=\left(\widehat{d_1;d_2}\right)\)
\(cos\varphi=cos\left(2\alpha\right)=1-2sin^2\alpha=1-2.\left(\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right)^2=0\)
\(\Rightarrow sin\varphi=1\)
\(\Rightarrow Chọn.C.1\)
Sửa lại
\(sin\alpha=\dfrac{d\left(d_1;d\right)}{AH}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\)
