Question

2. Tìm số tự nhiên \( n \) trong khoảng từ 165 đến 250 để phân số \( \frac{5n + 2}{2n + 7} \) rút gọn được.

Answer 1

Gọi \(d=ƯCLN\left(5n+2,2n+7\right)\) với \(d\in Z^+\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}5n+2⋮d\\2n+7⋮d\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow5.\left(2n+7\right)-2.\left(5n+2\right)⋮d\)

\(\Rightarrow31⋮d\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}d=1\\d=31\end{matrix}\right.\)

Để phân số đã cho rút gọn được \(\Rightarrow d\ne1\)

\(\Rightarrow d=31\)

\(\Rightarrow2n+7⋮31\)

\(\Rightarrow2n+7=31k\) với \(k\in Z^+\)

Do 2n+7 lẻ nên 31k lẻ \(\Rightarrow k\) lẻ

\(\Rightarrow k=2m+1\) với m nguyên dương

\(\Rightarrow2n+7=31.\left(2m+1\right)\)

\(\Rightarrow n=31m+12\)

Mà \(165< n< 250\Rightarrow165< 31m+12< 250\)

\(\Rightarrow\dfrac{153}{31}< m< \dfrac{238}{31}\)

\(\Rightarrow m\in\left\{5,6,7\right\}\)

\(\Rightarrow n\in\left\{167,198,229\right\}\)