Cho hình chóp \( S.ABC \) có đáy \( ABC \) là tam giác đều cạnh dài \( SA \perp (ABC) \), \( SB = 3a \). \( M \) là trung điểm của \( BC \).
a, Chứng minh: \( (SBC) \perp (SAM) \).
b, Xác định và tính góc giữa \( SC \) và đáy.
c, Tính góc giữa \( (SBC) \) và đáy.
d, \( G \) là trọng tâm tam giác \( ABC \) tính khoảng cách từ \( G \) đến mặt phẳng \( (SBC) \).
e, Tính thể tích \( S.ABC \).
a.
Do \(SA\perp\left(ABC\right)\Rightarrow SA\perp BC\) (1)
M là trung điểm BC mà tam giác ABC đều \(\Rightarrow AM\perp BC\) (2)
(1),(2) \(\Rightarrow BC\perp\left(SAM\right)\)
Mà \(BC\in\left(SBC\right)\Rightarrow\left(SBC\right)\perp\left(SAM\right)\)
b.
\(SA\perp\left(ABC\right)\Rightarrow AC\) là hình chiếu vuông góc của SC lên (ABC)
\(\Rightarrow\widehat{SCA}\) là góc giữa SC và (ABC)
\(SA=\sqrt{SB^2-AB^2}=\sqrt{9a^2-4a^2}=a\sqrt{5}\)
\(tan\widehat{SCA}=\dfrac{SA}{AC}=\dfrac{\sqrt{5}}{2}\Rightarrow\widehat{SCA}\approx48^011'\)
c.
Theo cm câu a, \(BC\perp\left(SAM\right)\)
Mà \(\left(SBC\right)\cap\left(ABC\right)=BC\)
\(\Rightarrow\widehat{SMA}\) là góc giữa (SBC) và (ABC)
\(AM=\dfrac{2a.\sqrt{3}}{2}=a\sqrt{3}\)
\(\Rightarrow tan\widehat{SMA}=\dfrac{SA}{AM}=\dfrac{\sqrt{15}}{3}\Rightarrow\widehat{SMA}=52^014'\)
d.
Do G là trọng tâm ABC, mà M là trung điểm BC
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}G\in AM\\GM=\dfrac{1}{3}AM\end{matrix}\right.\) theo t/c trọng tâm
\(AG\cap\left(SBC\right)=M\)
\(\Rightarrow d\left(G,\left(SBC\right)\right)=\dfrac{1}{3}d\left(A,\left(SBC\right)\right)\)
Từ A kẻ \(AD\perp SM\)
Theo cm câu a, do \(BC\perp\left(SAM\right)\Rightarrow BC\perp AD\)
\(\Rightarrow AD\perp\left(SBC\right)\)
\(\Rightarrow AD=d\left(A,\left(SBC\right)\right)\)
hệ thức lượng: \(AD=\dfrac{SA.AM}{\sqrt{SA^2+AM^2}}=\dfrac{a\sqrt{30}}{4}\)
\(\Rightarrow d\left(G,\left(SBC\right)\right)=\dfrac{1}{3}AD=\dfrac{a\sqrt{30}}{12}\)
d.
\(V_{S.ABC}=\dfrac{1}{3}SA.\dfrac{1}{2}AM.BC=\dfrac{a^2\sqrt{15}}{3}\)
