Bài 7. (3,0 điểm) Cho \( (O) \) và \( A \) là điểm nằm bên ngoài đường tròn. Kẻ các tiếp tuyến \( AB ; AC \) với đường tròn \( (B , C \) là tiếp điểm\() \).
a) Chứng minh: \( OA \perp BC \).
b) Vẽ đường kính \( CD \), chứng minh: \( BD // AO \).
c) Tính độ dài các cạnh của tam giác \( ABC \) biết \( OB = 2cm; OA = 4cm \).
a.
Do A là giao điểm 2 tiếp tuyến tại B và C nên \(AB=AC\) (t/c hai tiếp tuyến cắt nhau) (1)
Lại có \(OB=OC=R\) (2)
Từ (1) và (2) \(\Rightarrow OA\) là trung trực của đoạn thẳng BC
\(\Rightarrow OA\perp BC\) (3)
b.
Do CD là đường kính và B thuộc đường tròn
\(\Rightarrow\widehat{CBD}=90^0\) (góc nt chắn nửa đường tròn)
\(\Rightarrow BD\perp BC\) (4)
(3),(4) \(\Rightarrow BD||OA\)
c.
Do AB là tiếp tuyến tại B \(\Rightarrow OB\perp AB\)
\(\Rightarrow\Delta OAB\) vuông tại B
Áp dụng Pitago:
\(AB=\sqrt{OA^2-OB^2}=2\sqrt{3}\left(cm\right)\)
\(\Rightarrow AC=AB=2\sqrt{3}\left(cm\right)\)
Trong tam giác vuông OAB: \(sin\widehat{OAB}=\dfrac{OB}{OA}=\dfrac{1}{2}\)
\(\Rightarrow\widehat{OAB}=30^0\Rightarrow\widehat{CAB}=2\widehat{OAB}=60^0\)
\(\Rightarrow\Delta ABC\) đều (tam giác cân có 1 góc 60 đô)
\(\Rightarrow BC=AB=2\sqrt{3}\left(cm\right)\)
