Question

4.2. Cho \(\triangle ABC\) vuông tại \(A\). Kẻ đường cao \(AH\). Đường phân giác của \(ABC\) cắt \(AC\) tại \(D\) và cắt \(AH\) tại \(E\).
a) Chứng minh: \(\triangle ABC \sim \triangle HBA\).
b) Gọi \(I\) là chân đường vuông góc kẻ từ \(A\) xuống \(BD\). Chứng minh: \(EI \cdot EB = EH \cdot EA\).
c) Gọi \(F\) là trung điểm của \(AC\). Chứng minh: \(\triangle AEB \sim \triangle IEH\) và \(IF \parallel BC\).

Answer 1

a.

Xét hai tam giác ABC và HBA có:

\(\left\{{}\begin{matrix}\widehat{B}-chung\\\widehat{BAC}=\widehat{BHA}=90^0\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\Delta ABC\sim\Delta HBA\left(g.g\right)\)

b.

Theo giả thiết H và I cùng nhìn AB dưới 1 góc vuông

\(\Rightarrow ABHI\) nội tiếp

\(\Rightarrow\widehat{ABE}=\widehat{IHE}\) (cùng chắn AI)

Xét hai tam giác AEB và IEH có:

\(\left\{{}\begin{matrix}\widehat{ABE}=\widehat{IHE}\left(cmt\right)\\\widehat{ABE}=\widehat{AEH}\left(\text{đối đỉnh}\right)\end{matrix}\right.\) 

\(\Rightarrow\Delta AEB\sim\Delta IEH\left(g.g\right)\)

\(\Rightarrow\dfrac{EA}{EI}=\dfrac{EB}{EH}\)

\(\Rightarrow EI.EB=EH.EA\)

Answer 2

c.

Từ câu b ta đã có \(\Delta AEB\sim\Delta IEH\)

Do tam giác AHC vuông tại H và F là trung điểm AC

\(\Rightarrow FH=\dfrac{1}{2}AC=FA\) (1)

Do tứ giác ABHI nội tiếp (theo cm câu b)

\(\Rightarrow\widehat{IAH}=\widehat{IBH}\) (cùng chắn AH)

Đồng thời \(\widehat{IHA}=\widehat{IBA}\) (cùng chắn IA)

Mà \(\widehat{IBH}=\widehat{IBA}\) (do AD là phân giác góc B)

\(\Rightarrow\widehat{IAH}=\widehat{IHA}\)

\(\Rightarrow\Delta IAH\) cân tại I

\(\Rightarrow IA=IH\) (2)

Từ (1),(2) \(\Rightarrow IF\) là đường trung trực của đoạn AH

\(\Rightarrow IF\perp AH\)

\(\Rightarrow IF||BC\) (cùng vuông góc AH)

Answer 3