Question

Câu 10: Cho tam giác \( ABC \) vuông tại \( A \) có \( AB = 3 \text{cm} \), \( AC = 4 \text{cm} \), đường cao \( AH \). Trên cạnh \( BC \) lấy điểm \( E \) sao cho \( AB = BE \)

a) Chứng minh rằng \( \triangle HBA \sim \triangle \Delta ABC \)

b) Tính \( BC, AH \)

c) Chứng minh rằng \( BE^2 = BH \cdot BC \)

d) Tia phân giác của góc \( \angle ABC \) cắt \( AC \) tại \( D \). Tính diện tích tam giác \( CED \)

Answer 1

a.

Xét hai tam giác HBA và ABC có:

\(\left\{{}\begin{matrix}\widehat{B}-chung\\\widehat{BHA}=\widehat{BAC}=90^0\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\Delta HBA\sim\Delta ABC\left(g.g\right)\)

b.

Áp dụng định lý Pitago:

\(BC=\sqrt{AB^2+AC^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5\left(cm\right)\)

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ABC:

\(\dfrac{1}{AH^2}=\dfrac{1}{AB^2}+\dfrac{1}{AC^2}\)

\(\Rightarrow AH=\dfrac{AB.AC}{\sqrt{AB^2+AC^2}}=2,4\left(cm\right)\)

c.

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ABC với đường cao AH:

\(AB^2=BH.BC\)

Mà \(BE=AB\left(gt\right)\)

\(\Rightarrow BE^2=BH.BC\)

Answer 2

d.

Do BD là phân giác góc B \(\Rightarrow\widehat{ABD}=\widehat{EBD}\)

Xét hai tam giác ABD và EBD có:

\(\left\{{}\begin{matrix}AB=BE\left(gt\right)\\\widehat{ABD}=\widehat{EBD}\left(cmt\right)\\BD-chung\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\Delta ABD=\Delta EBD\left(c.g.c\right)\)

\(\Rightarrow\widehat{DEB}=\widehat{DAB}=90^0\)

\(\Rightarrow\Delta CDE\) vuông tại E

Ta có: \(CE=BC-BE=BC-AB=5-3=2\left(cm\right)\)

Trong tam giác vuông ABC:

\(tan\widehat{C}=\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{3}{4}\)

Trong tam giác vuông CDE:

\(tan\widehat{C}=\dfrac{DE}{CE}\)

\(\Rightarrow\dfrac{DE}{CE}=\dfrac{3}{4}\Rightarrow DE=\dfrac{3}{4}CE=\dfrac{3}{2}\left(cm\right)\)

\(\Rightarrow S_{\Delta CED}=\dfrac{1}{2}CE.DE=\dfrac{1}{2}.2.\dfrac{3}{2}=1,5\left(cm^2\right)\)

Answer 3