Question

Câu 26. Trong không gian \(Oxyz\) cho hình hộp chữ nhật \(OABC.O'A'B'C'\) với \(A(2;0;0), C(0;3;0), O'(0;0;4)\). Ta có

\[
\begin{array}{|c|l|c|c|}
\hline
& \text{Mệnh đề} & \text{Đúng} & \text{Sai} \\
\hline
(a) & \text{Mặt cầu tâm } O, \text{ bán kính } OA \text{ có phương trình là } x^2 + y^2 + z^2 = 2. & \checkmark & \\
\hline
(b) & \text{Mặt cầu tâm } A, \text{ đi qua } C \text{ có phương trình là } (x-2)^2 + y^2 + z^2 = 13. & \checkmark & \\
\hline
(c) & \text{Gọi } H \text{ là hình chiếu vuông góc của } O \text{ lên } (ACO'), \text{ mặt cầu tâm } O & & \\
& \text{đi qua } H \text{ có phương trình là } x^2 + y^2 + z^2 = \frac{12}{61} & & \\
\hline
(d) & \text{Mặt cầu đi qua các đỉnh của hình hộp có phương trình là} & & \\
& (x-1)^2 + \left(y-\frac{3}{2}\right)^2 + (z-2)^2 = \frac{29}{4}. & & \\
\hline
\end{array}
\]

Answer 1

a.

Sai, \(OA=R=2\Rightarrow x^2+y^2+z^2=4\) (đừng quên vế phải là \(R^2\), ko phải R)

b.

Đúng

c. Sai

\(\overrightarrow{O'A}=\left(2,0,-4\right)\); \(\overrightarrow{O'C}=\left(0,3,-4\right)\)

\(\Rightarrow\left[\overrightarrow{O'A};\overrightarrow{O'C}\right]=\left(12,8,6\right)=2.\left(6,4,3\right)\)

Nên mp (ACO') nhận (6,4,3) là 1 vtpt

Phương trình (ACO'):

\(6x+4y+3.\left(z-4\right)=0\Leftrightarrow6x+4y+3z-12=0\)

\(R=OH=d\left(O;\left(ACO'\right)\right)=\dfrac{\left|-12\right|}{\sqrt{6^2+4^2+3^2}}=\dfrac{12}{\sqrt{61}}\)

Phương trình:

\(x^2+y^2+z^2=\dfrac{144}{61}\)

d. Đúng

\(B\left(2,3,0\right)\)

Gọi I là trung điểm O'B \(\Rightarrow I\left(1,\dfrac{3}{2},2\right)\)

\(\overrightarrow{O'I}=\left(1,\dfrac{3}{2},-2\right)\Rightarrow O'I^2=\dfrac{29}{4}\)

Mặt cầu đi qua các đỉnh của hộp nhận I là tâm và có bán kính R=O'I

Phương trình:

\(\left(x-1\right)^2+\left(y-\dfrac{3}{2}\right)^2+\left(z-2\right)^2=\dfrac{29}{4}\)