Câu 4: (4,0 điểm)
Một bánh pizza có dạng hình tròn với đường kính 30cm. Một đầu bếp cắt một miếng bánh pizza hình quạt với góc \(45^\circ\) (như hình vẽ).
1. Tính độ dài cung tròn của miếng pizza.
2. Tính diện tích của miếng pizza.
3. Cho đường tròn (O;R), đường kính AB vuông góc với dây CD tại điểm I (I nằm giữa A và O). Lấy điểm E bất kì trên cung nhỏ BC (E khác B và C). AE cắt CD tại K.
a) Chứng minh bốn điểm K,E,B,I cùng thuộc một đường tròn.
b) Chứng minh \(AK \cdot AE = AI \cdot AB\).
c) Gọi P là giao điểm của tia BE và tia DC, Q là giao điểm của AP và BK. Chứng minh IK là phân giác của góc EIQ.
Câu 5: (0,5 điểm)
Một bể bơi mini có dạng hình hộp chữ nhật có mặt đáy MNPQ là hình vuông (hình vẽ). Hãy tìm độ dài cạnh MN của mặt đáy và chiều cao AM của bể bơi sao cho tổng diện tích các mặt làm bể bơi (bao gồm 4 mặt xung quanh và một mặt đáy) là nhỏ nhất, biết rằng thể tích của bể bơi là \(4m^3\).
3:
a: Xét (O) có
ΔAEB nội tiếp
AB là đường kính
Do đó: ΔAEB vuông tại E
xét tứ giác KEBI có \(\widehat{KEB}+\widehat{KIB}=90^0+90^0=180^0\)
nên KEBI là tứ giác nội tiếp
=>K,E,B,I cùng thuộc một đường tròn
b: Xét ΔAIK vuông tại I và ΔAEB vuông tại E có
\(\widehat{IAK}\) chung
Do đó: ΔAIK~ΔAEB
=>\(\dfrac{AI}{AE}=\dfrac{AK}{AB}\)
=>\(AI\cdot AB=AK\cdot AE\)
c: Xét ΔPAB có
PI,AE là các đường cao
PI cắt AE tại K
Do đó: K là trực tâm của ΔPAB
=>BK\(\perp\)PA tại Q
Xét tứ giác AQKI có \(\widehat{KQA}+\widehat{KIA}=90^0+90^0=180^0\)
nên AQKI là tứ giác nội tiếp
Xét tứ giác KEBI có \(\widehat{KEB}+\widehat{KIB}=90^0+90^0=180^0\)
nên KEBI là tứ giác nội tiếp
Ta có: \(\widehat{QIK}=\widehat{QAK}\)(AQKI nội tiếp)
\(\widehat{EIK}=\widehat{EBK}\)(KEBI nội tiếp)
mà \(\widehat{QAK}=\widehat{EBK}\left(=90^0-\widehat{APB}\right)\)
nên \(\widehat{QIK}=\widehat{EIK}\)
=>IP là phân giác của góc QIE
