Question

Bài II (1,5 điểm). Cho hai biểu thức: \( A = \frac{1}{\sqrt{x} - 1} + \frac{\sqrt{x}}{x - 1} \) và \( B = \frac{2\sqrt{x} + 1}{x + \sqrt{x} - 2} \) với \( x \geq 0; x \neq 1 \)

1) Tính giá trị của biểu thức B khi \( x = 9 \).

2) Biết \( M = A : B \). Chứng minh rằng \( M = \frac{\sqrt{x} + 2}{\sqrt{x} + 1} \).

3) Tìm giá trị lớn nhất của M.

Answer 1

1: Khi x=9 thì \(B=\dfrac{2\cdot3+1}{9+3-2}=\dfrac{5+1}{10}=\dfrac{6}{10}=\dfrac{3}{5}\)

2: M=A:B

\(=\left(\dfrac{1}{\sqrt{x}-1}+\dfrac{\sqrt{x}}{x-1}\right):\dfrac{2\sqrt{x}+1}{x+\sqrt{x}-2}\)

\(=\dfrac{\sqrt{x}+1+\sqrt{x}}{\left(\sqrt{x}-1\right)\cdot\left(\sqrt{x}+1\right)}\cdot\dfrac{\left(\sqrt{x}+2\right)\left(\sqrt{x}-1\right)}{2\sqrt{x}+1}\)

\(=\dfrac{2\sqrt{x}+1}{2\sqrt{x}+1}\cdot\dfrac{\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}+1}=\dfrac{\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}+1}\)

3: \(M=\dfrac{\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}+1}=1+\dfrac{1}{\sqrt{x}+1}\)

\(\sqrt{x}+1>=1\forall x\) thỏa mãn ĐKXĐ

=>\(\dfrac{1}{\sqrt{x}+1}< =\dfrac{1}{1}=1\forall x\) thỏa mãn ĐKXĐ

=>\(M=\dfrac{1}{\sqrt{x}+1}+1< =1+1=2\forall x\) thỏa mãn ĐKXĐ

Dấu '=' xảy ra khi x=0