Question

Bài 1. Chứng minh rằng với mọi số thực \( x, y, z \), ta đều có

a) \( x^2 + 4y^2 + 9z^2 \geq 2xy + 6yz + 3zx \)

b) \( 4x^2 + 9y^2 + 16z^2 \geq 6xy + 12yz + 8zx \)

Answer 1

a: Đặt a=x; b=2y; c=3z

=>\(2xy=ab;6yz=2y\cdot3z=b\cdot c;3z\cdot x=ca\)

Theo đề, ta có: \(a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ac\)

=>\(2a^2+2b^2+2c^2\ge2ab+2bc+2ac\)

=>\(\left(a^2-2ab+b^2\right)+\left(b^2-2bc+c^2\right)+\left(a^2-2ac+c^2\right)\ge0\)

=>\(\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(a-c\right)^2\ge0\) (luôn đúng)

=>\(x^2+4y^2+9z^2\ge2xy+6yz+3xz\)

b: Đặt a=2x; b=3y; c=4z

=>6xy=ab; 12yz=bc; 8xz=ac

Theo đề, ta có: \(a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ac\)

=>\(2a^2+2b^2+2c^2\ge2ab+2bc+2ac\)

=>\(\left(a^2-2ab+b^2\right)+\left(b^2-2bc+c^2\right)+\left(a^2-2ac+c^2\right)\ge0\)

=>\(\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(a-c\right)^2\ge0\) (luôn đúng)

=>\(4x^2+9y^2+16z^2\ge6xy+12yz+8xz\)