Question

Bài 1: Cho biểu thức \( P = \frac{x^2 + 2x}{2x + 10} + \frac{x - 5}{x} + \frac{50 - 5x}{2x(x + 5)} \).

a) Tìm điều kiện xác định của \( P \) và rút gọn biểu thức \( P \).

b) Tính giá trị của \( P \) tại \( x = 2 \).

c) Xét biểu thức \( S = P \cdot \frac{2}{x - 2} \). Chứng minh \( S = 1 + \frac{1}{x - 2} \). Từ đó tìm tất cả các giá trị nguyên của \( x \) sao cho biểu thức \( S \) nhận giá trị nguyên.

Answer 1

a: ĐKXĐ: \(x\notin\left\{0;-5\right\}\)

\(P=\dfrac{x^2+2x}{2x+10}+\dfrac{x-5}{x}+\dfrac{50-5x}{2x\left(x+5\right)}\)

\(=\dfrac{x^2+2x}{2\left(x+5\right)}+\dfrac{x-5}{x}+\dfrac{50-5x}{2x\left(x+5\right)}\)

\(=\dfrac{x\left(x^2+2x\right)+2\left(x+5\right)\left(x-5\right)+50-5x}{2x\left(x+5\right)}\)

\(=\dfrac{x^3+2x^2+2x^2-50+50-5x}{2x\left(x+5\right)}=\dfrac{x^3+4x^2-5x}{2x\left(x+5\right)}\)

\(=\dfrac{x\left(x+5\right)\left(x-1\right)}{2x\left(x+5\right)}=\dfrac{x-1}{2}\)

b: Khi x=2 thì \(P=\dfrac{2-1}{2}=\dfrac{1}{2}\)

c: \(S=P\cdot\dfrac{2}{x-2}=\dfrac{x-1}{2}\cdot\dfrac{2}{x-2}=\dfrac{x-1}{x-2}=\dfrac{x-2+1}{x-2}=1+\dfrac{1}{x-2}\)

Để S nguyên thì \(x-2\in\left\{1;-1\right\}\)

=>\(x\in\left\{3;1\right\}\)