Question

Bài 6. (2,5 điểm) Cho \(\triangle ABC\) nhọn (AB < AC) có đường cao AH (H ∈ BC). Vẽ HD là phân giác của \(\angle AHB\) (D ∈ AB)
a) Cho biết HB = 3 cm, HA = 4 cm. Tính AB, DB?
b) Qua D vẽ đường thẳng song song với BC cắt AH, AC lần lượt tại K và E. Chứng minh: \(\frac{AK}{AH} = \frac{DE}{BC}\).

. Suy ra \(\frac{S_{ADE}}{S_{ABC}} = \left(\frac{DE}{BC}\right)^2\)

Answer 1

a: ΔAHB vuông tại H

=>\(HA^2+HB^2=AB^2\)

=>\(AB=\sqrt{3^2+4^2}=5\left(cm\right)\)

Xét ΔAHB có HD là phân giác

nên \(\dfrac{DA}{AH}=\dfrac{DB}{BH}\)

=>\(\dfrac{DA}{4}=\dfrac{DB}{3}\)

mà DA+DB=AB=5cm

nên Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta được:

\(\dfrac{DA}{4}=\dfrac{DB}{3}=\dfrac{DA+DB}{4+3}=\dfrac{5}{7}\)

=>\(DB=\dfrac{5}{7}\cdot3=\dfrac{15}{7}\left(cm\right)\)

b: Xét ΔABH có DK//BH

nên \(\dfrac{AK}{AH}=\dfrac{AD}{AB}\left(1\right)\)

Xét ΔABC có DE//BC

nên \(\dfrac{DE}{BC}=\dfrac{AD}{AB}\left(2\right)\)

Từ (1),(2) suy ra \(\dfrac{AK}{AH}=\dfrac{DE}{BC}\)

Xét ΔABC có DE//BC

nên ΔADE~ΔABC

=>\(\dfrac{S_{ADE}}{S_{ABC}}=\left(\dfrac{DE}{BC}\right)^2\)