Question

Ví dụ 4. (Quy về các dãy số đặc biệt) (Trích sách bài tập ĐS và GT 11NC, NXBGD 2007) Cho

dãy số \( (u_n) \) xác định bởi \[
\begin{cases}
u_1 = 1 \\
u_{n+1} = \frac{u_n - 4}{u_n + 6}, \forall n \geq 1
\end{cases}
\]. Chứng minh rằng \( u_n \neq -4, \forall n \geq 1 \) và

dãy số \( (v_n) \) với

\( v_n = \frac{u_n + 1}{u_n + 4} \) là một cấp số nhân. Khi đó tính \(\lim u_n\).

Answer 1

\(u_{n+1}=\dfrac{u_n-4}{u_n+6}\)

Giả sử tồn tại \(n=k\in N;u_k=-4\Rightarrow u_{k+1}=\dfrac{u_k-4}{u_k+6}=\dfrac{-4-4}{-4+6}=-4\ne1\)

\(\Rightarrow n=1;\) mệnh đề đúng

Giả sử \(u_n\ne-4;u_{n+1}=\dfrac{u_n-4}{u_n+6}=-4\left(\forall n>1;n\in N\right)\)

\(\Rightarrow u_n-4=-4u_n-24\Rightarrow u_n=-4\left(mâu.thuẫn.với.giả.thiết\right)\)

\(\Rightarrow\) Theo nguyên lý qui nạp ta có \(u_n\ne-4;\forall n\ge1\left(đpcm\right)\)

Giả sử \(limu_n=L\)

\(u_{n+1}=\dfrac{u_n-4}{u_n+6}\Rightarrow L=\dfrac{L-4}{L+6}\Rightarrow L^2+5L+4=0\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}L=-1\\L=-4\end{matrix}\right.\)

mà \(L=-4\left(loại\right)\) do phần chứng minh phía trên \(u_n\ne-4;\forall n\ge1\)

\(\Rightarrow L=-1\)

\(\Rightarrow limu_n=-1\)

Kiểm tra lại về cấp số nhân

\(v_n=\dfrac{u_n+1}{u_n+4};u_{n+1}=\dfrac{u_n-4}{u_n+6}\)

\(\Rightarrow v_{n+1}=\dfrac{u_{n+1}+1}{u_{n+1}+4}=\dfrac{\dfrac{u_n-4}{u_n+6}+1}{\dfrac{u_n-4}{u_n+6}+4}=\dfrac{2u_n+2}{5u_n+20}\)

Với \(u_1=1\Rightarrow v_1=\dfrac{2}{5};q=\dfrac{2.1+2}{5.1+20}=\dfrac{4}{25}\)

\(\Rightarrow v_{n+1}=qv_n=\dfrac{2}{5}.\left(\dfrac{4}{5}\right)^n\)

\(\Rightarrow v_n=\dfrac{2}{5}.\left(\dfrac{4}{5}\right)^{n-1}\rightarrow0\) và là cấp số nhân

\(\Rightarrow limv_n=0\Rightarrow lim\dfrac{u_n+1}{u_n+4}=0\Rightarrow limu_n=-1\left(u_n\ne-4\left(cmt\right)\right)\Rightarrow Thỏa\)