Question

Bài 3 (2,5 điểm) Cho tam giác \( ABC \) vuông tại \( A \), trung tuyến \( AD \). Vẽ tia phân giác của \( \angle ADB \) cắt \( AB \) tại \( M \), tia phân giác của \( \angle ADC \) cắt \( AC \) tại \( N \). Chứng minh rằng:
a) \(\frac{AM}{MB} = \frac{AN}{NC}\)
b) \( MN \parallel BC \).
c) Giả sử \( MN = 5 \text{cm} \). Tính \( BC \)

Answer 1

a: Xét ΔDAB có DM là phân giác

nên \(\frac{AM}{MB}=\frac{AD}{DB}\left(1\right)\)

Xét ΔDAC có DN là phân giác

nên \(\frac{AN}{NC}=\frac{AD}{DC}\left(2\right)\)

D là trung điểm của BC

=>\(DA=DB=DC=\frac{BC}{2}\left(3\right)\)

Từ (1),(2),(3) suy ra \(\frac{AM}{MB}=\frac{AN}{NC}\)

b: Xét ΔABC có \(\frac{AM}{MB}=\frac{AN}{NC}\)

nên MN//BC

c: ΔDAB cân tại D

mà DM là đường phân giác

nên M là trung điểm của AB

ΔDAC cân tại D

mà DN là đường phân giác

nên N là trung điểm của AC

Xét ΔABC có MN//BC

nên \(\frac{MN}{BC}=\frac{AM}{AB}=\frac12\)

=>BC=2*MN=2*5=10(cm)