Question

Bài 6: Cho tam giác \(ABC\) nhọn, phân giác của góc \(BAC\) cắt \(BC\) tại \(D\).
a) Cho \(AB = 8\text{cm}, AC = 12\text{cm}, DC = 6\text{cm}\). Tính độ dài \(BD\).
b) Kẻ \(DK \parallel AC\) (\(K\) thuộc \(AB\)). Chứng minh rằng \(KA = KD\).
c) Chứng minh \(AB \cdot KD = AC \cdot KB\).

Answer 1

a) Theo tính chất đường phân giác \(AD\) của \(\widehat{BAC}\); ta có :

\(\dfrac{BD}{AB}=\dfrac{CD}{AC}\Rightarrow BD=\dfrac{CD.AB}{AC}=\dfrac{6.8}{12}=4\left(cm\right)\)

b) Ta có :

\(DK//AC\Rightarrow\widehat{DAC}=\widehat{KDA}\left(so.le.trong\right)\)

mà \(\widehat{DAC}=\widehat{KAD}\) (\(AD\) là phân giác \(\widehat{BAC}\))

\(\Rightarrow\widehat{KDA}=\widehat{KAD}\)

\(\Rightarrow\Delta KAD\) cân tại \(K\)

\(\Rightarrow KA=KD\left(đpcm\right)\)

c) Xét \(\Delta ABC\&\Delta KBD:\)

Góc \(\widehat{B}\) chung

\(\widehat{BKD}=\widehat{BCA}\left(đồng.vị\right)\)

\(\Rightarrow\Delta ABC\sim\Delta KBD\left(g-g\right)\)

\(\Rightarrow\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{KB}{KD}\)

\(\Rightarrow AB.KD=AC.KB\left(đpcm\right)\)