Câu 12 (2,5 điểm). Cho tam giác MNP có \( MN < MP \). Tia phân giác của góc M cắt NP tại Q. Trên cạnh MP lấy điểm E sao cho \( ME = MN \), trên tia MN lấy điểm F sao cho \( MF = MP \). Chứng minh rằng:
1) \( \triangle MNQ = \triangle MEQ \).
2) \( \triangle QFP \) cân tại Q.
3) Ba điểm E, F, Q thẳng hàng.
1: Xét ΔMNQ và ΔMEQ có
MN=ME
\(\hat{NMQ}=\hat{EMQ}\)
MQ chung
Do đó; ΔMNQ=ΔMEQ
2: ΔMNQ=ΔMEQ
=>\(\hat{MNQ}=\hat{MEQ}\)
mà \(\hat{MNQ}+\hat{QNF}=180^0\) (hai góc kề bù)
và \(\hat{MEQ}+\hat{QEP}=180^0\) (hai góc kề bù)
nên \(\hat{QNF}=\hat{QEP}\)
ΔMNQ=ΔMEQ
=>QN=QE
Ta có: MN+NF=MF
ME+EP=MP
mà MN=EM và MF=MP
nên NF=EP
Xét ΔQNF và ΔQEP có
QN=QE
\(\hat{QNF}=\hat{QEP}\)
NF=EP
Do đó: ΔQNF=ΔQEP
=>QF=QP
=>ΔQFP cân tại Q
3: ΔQNF=ΔQEP
=>\(\hat{NQF}=\hat{EQP}\)
mà \(\hat{EQP}+\hat{EQN}=180^0\) (hai góc kề bù)
nên \(\hat{NQF}+\hat{NQE}=180^0\)
=>F,Q,E thẳng hàng
