Bài 11 (STT, 99): Cho hình chữ nhật \(ABCD\) nội tiếp \((O)\). Gọi \(H\) là hình chiếu của \(A\) trên \(BD\), \(K\) là hình chiếu của \(B\) trên \(AC\). Chứng minh:
a/ Bốn điểm \(A, H, K, B\) cùng thuộc 1 đường tròn. Xác định tâm và bán kính của đường tròn đó
b/ \(HK \parallel CD\)
Bài 12 (STT, 100): Cho hình vuông \(ABCD\) nội tiếp \((O)\). Trên tia đối của tia \(BA\) lấy điểm \(M\). Kẻ \(BH \perp MC\) tại \(H\).
a/ Chứng minh: Tứ giác \(BHCO\) nội tiếp
b/ Chứng minh \(HO\) là tia phân giác của góc \(BHC\)
c) Gọi \(K\) là giao điểm của \(BC\) và \(OH\). Chứng minh \(BK \cdot BH = CK \cdot MH\)
Bài 11:
a: Xét tứ giác AHKB có \(\widehat{AHB}=\widehat{AKB}=90^0\)
nên AHKB là tứ giác nội tiếp
b: ABCD là hình chữ nhật tâm O
=>AC=BD và O là trung điểm chung của AC và BD
Ta có: AC=BD
mà \(OA=OC=\dfrac{AC}{2};OB=OD=\dfrac{BD}{2}\)
nên OA=OC=OB=OD
=>OA=OB
=>ΔOAB cân tại O
Ta có: \(\widehat{OHK}=\widehat{OAB}\)(ABKH nội tiếp)
\(\widehat{OKH}=\widehat{OBA}\)(ABKH nội tiếp)
mà \(\widehat{OAB}=\widehat{OBA}\)(ΔOAB cân tại O)
nên \(\widehat{OHK}=\widehat{OKH}\)
=>OH=OK
Xét ΔODC có \(\dfrac{OH}{OD}=\dfrac{OK}{OC}\)
nên HK//DC
Bài 12:
a: Ta có: ABCD là hình vuông nội tiếp (O)
=>AC\(\perp\)BD tại O và O là trung điểm chung của AC và BD
Xét tứ giác BOCH có \(\widehat{BOC}+\widehat{BHC}=90^0+90^0=180^0\)
nên BOCH là tứ giác nội tiếp
b: ABCD là hình vuông
=>AC=BD
mà \(OA=OC=\dfrac{AC}{2};OB=OD=\dfrac{BD}{2}\)
nên \(OA=OB=OC=OD=\dfrac{AC}{2}=\dfrac{BD}{2}\)
TA có: BOCH là tứ giác nội tiếp
=>\(\widehat{CHO}=\widehat{CBO};\widehat{BHO}=\widehat{BCO}\)
mà \(\widehat{CBO}=\widehat{BCO}\left(=45^0\right)\)
nên \(\widehat{CHO}=\widehat{BHO}\)
=>HO là phân giác của góc BHC
c: Xét ΔBHC có HK là phân giác
nên \(\dfrac{BK}{CK}=\dfrac{BH}{CH}\left(1\right)\)
Xét ΔHBC vuông tại H và ΔHMB vuông tại H có
\(\widehat{HBC}=\widehat{HMB}\left(=90^0-\widehat{HBM}\right)\)
Do đó: ΔHBC~ΔHMB
=>\(\dfrac{HB}{HM}=\dfrac{HC}{HB}\)
=>\(\dfrac{HB}{HC}=\dfrac{HM}{HB}\left(2\right)\)
Từ (1),(2) suy ra \(\dfrac{HM}{HB}=\dfrac{BK}{CK}\)
=>\(BK\cdot BH=CK\cdot MH\)
