Bài 20. Cho tam giác \( ABC \) cân tại \( A \) và \( M \) là trung điểm của \( BC \). Lấy các điểm \( D, E \) theo thứ tự thuộc các cạnh \( AB, AC \) sao cho \(\widehat{DME} = \widehat{B}\). \( AC = 8 \, \text{cm}, AD = 6 \, \text{cm}. \) Chứng minh:
a) \( \triangle BDM \sim \triangle CME \)
b) Tích \( BD \cdot CE \) luôn không đổi;
c) \( DM \) là tia phân giác của \(\widehat{BDE}\)
M là trung điểm của BC
=>\(MB=MC=\frac{BC}{2}=\frac{2a}{2}=a\)
Ta có: \(\hat{DME}+\hat{DMB}+\hat{EMC}=180^0\)
\(\hat{CEM}+\hat{ECM}+\hat{EMC}=180^0\)
mà \(\hat{DME}=\hat{ECM}\left(=\hat{ABC}\right)\)
nên \(\hat{DMB}=\hat{MEC}\)
Xét ΔDMB và ΔMEC có
\(\hat{DMB}=\hat{MEC}\)
\(\hat{B}=\hat{C}\)
Do đó: ΔDMB~ΔMEC
b: ΔDMB~ΔMEC
=>\(\frac{DB}{MC}=\frac{MB}{EC}\)
=>\(DB\cdot EC=MB\cdot MC=a\cdot a=a^2\)
=>\(DB\cdot EC\) không đổi
c:
ΔDMB~ΔMEC
=>\(\frac{MD}{ME}=\frac{MB}{EC}=\frac{BD}{MC}\)
=>\(\frac{MD}{ME}=\frac{BD}{MB}\)
=>MB/ME=BD/MD
Xét ΔBDM và ΔMDE có
BD/MD=BM/ME
góc B=góc DME
Do đó: ΔBDM~ΔMDE
=>\(\hat{BDM}=\hat{MDE}\)
=>DM là phân giác của góc BDE
