Question

Câu 1.

Cho phương trình \( x^2 - (2m - 1)x + m^2 - 1 = 0 \) ( \( x \) là ẩn số )

a) Tìm điều kiện của \( m \) để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt.

b) Định \( m \) để hai nghiệm \( x_1, x_2 \) của phương trình đã cho thỏa mãn: \( (x_1 - x_2)^2 = x_1 - 3x_2 \).

Answer 1

a) Để phương trình có 2 nghiệm phân biệt thì: \(\left(2m-1\right)^2-4\left(m^2-1\right)>0\Leftrightarrow-4m+5>0\Leftrightarrow m< \dfrac{5}{4}\).

b) Theo định lí Viete ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=2m-1\\x_1x_2=m^2-1\end{matrix}\right.\Rightarrow\left(x_1-x_2\right)^2=\left(x_1+x_2\right)^2-4x_1x_2=\left(2m-1\right)^2-4\left(m^2-1\right)=-4m+5\)

Ta có: \(\left(x_1-x_2\right)^2=x_1-3x_2\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(x_1-x_2\right)^2-\left(x_1+x_2\right)=-4x_2\\\left(x_1-x_2\right)^2+3\left(x_1+x_2\right)=4x_1\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left[\left(x_1-x_2\right)^2-\left(x_1+x_2\right)\right]\left[\left(x_1-x_2\right)^2+3\left(x_1+x_2\right)\right]=-16x_1x_2\)

\(\Rightarrow\left(-4m+5-2m+1\right)\left(-4m+5+6m-3\right)=-16\left(m^2-1\right)\)

\(\Leftrightarrow-6\left(m-1\right).2\left(m+1\right)=-16\left(m^2-1\right)\)

\(\Leftrightarrow m^2-1=0\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m=1\\m=-1\end{matrix}\right.\) (thoả \(m< \dfrac{5}{4}\))

Với m=1 thì phương trình ban đầu trở thành: \(x^2-x=0\). Phương trình này có 2 nghiệm là x=0 và x=1. Chọn x₁=1 và x₂=0 thì thoả điều kiện.

Với m=-1 thì phương trình ban đầu trở thành: \(x^2+3x=0\). Phương trình này có 2 nghiệm là x=0 và x=-3. Chọn x₁=0 và x₂=-3 thì thoả điều kiện.

Vậy \(m=\pm1\)