Một doanh nghiệp có 45\% nhân viên là nữ. Tỉ lệ nhân viên nữ và tỉ lệ nhân viên nam mua bảo hiểm nhân thọ lần lượt là 7\% và 5\%. Gặp ngẫu nhiên một nhân viên của doanh nghiệp.
a) Tính xác suất nhân viên đó có mua bảo hiểm nhân thọ.
b) Biết rằng nhân viên đó có mua bảo hiểm nhân thọ. Tính xác suất nhân viên đó là nam.
Gọi \(A_1\) là biến cố nhân viên đó là nữ
\(A_2\) là biến cố nhân viên đó là nam
\(A_1;A_2\) tạo thành nhóm biến cố đầy đủ.
\(B\) là biến cố "nhân viên đó có mua bảo hiểm"
Ta có \(P\left(A_1\right)=0,45\) ; \(P\left(A_2\right)=0,55\); \(P\left(B|A_1\right)=0,07\) ; \(P\left(B|A_2\right)=0,05\)
\(P\left(B\right)=0,45.0,07+0,55.0,05=0,059\)
\(P\left(A_2|B\right)=\dfrac{P\left(A_2\right).P\left(B|A_2\right)}{P\left(B\right)}=\dfrac{0,55.0,05}{0,059}=\dfrac{55}{118}\)
Gọi:
- \(P\left(X\right)=0,45\) là xác suất một nhân viên là nữ.
- \(P\left(Y\right)=1-P\left(X\right)=1-0,45=0,55\) là xác suất một nhân viên là nam.
- \(P\left(M\right)\) là xác suất một nhân viên ngẫu nhiên có mua bảo hiểm nhân thọ
- \(P\left(M|X\right)=0,07\) là xác suất mua bảo hiểm nhân thọ nếu nhân viên là nữ.
- \(P\left(M|Y\right)=0,05\) là xác suất mua bảo hiểm nhân thọ nếu nhân viên là nam.
a) Áp dụng công thức xác suất toàn phần ta có xác suất một nhân viên ngẫu nhiên có mua bảo hiểm nhân thọ là
\(P\left(M\right)=P\left(M|X\right)\cdot P\left(X\right)+P\left(M|Y\right)\cdot P\left(Y\right)\)
\(=0,07\cdot0,45+0,05\cdot0,55=0,059\)
b) Áp dụng công thức Bayes ta có xác suất nhân viên là nam khi biết đã mua bảo hiểm nhân thọ là
\(P\left(Y|M\right)=\dfrac{P\left(M|Y\right)\cdot P\left(Y\right)}{P\left(M\right)}=\dfrac{0,05\cdot0,55}{0,059}=\dfrac{55}{118}\)
