Bài 2:
a: \(x^4-7x^2+1\)
\(=x^4+2x^2+1-9x^2\)
\(=\left(x^2+1\right)^2-\left(3x\right)^2\)
\(=\left(x^2+1-3x\right)\left(x^2+1+3x\right)\)
b:
b1: ĐKXĐ: \(x\notin\left\{-3;-2;1\right\}\)
b2: \(A=\left(\dfrac{2-x}{x+3}-\dfrac{3-x}{x+2}+\dfrac{2-x}{x^2+5x+6}\right):\left(1-\dfrac{x}{x-1}\right)\)
\(=\left(\dfrac{-\left(x-2\right)}{x+3}+\dfrac{x-3}{x+2}+\dfrac{2-x}{\left(x+2\right)\left(x+3\right)}\right):\dfrac{x-1-x}{x-1}\)
\(=\dfrac{-\left(x-2\right)\left(x+2\right)+\left(x-3\right)\left(x+3\right)+2-x}{\left(x+3\right)\left(x+2\right)}\cdot\dfrac{x-1}{-1}\)
\(=\dfrac{-x^2+4+x^2-9+2-x}{\left(x+3\right)\left(x+2\right)}\cdot\left(-x+1\right)\)
\(=\dfrac{-x-3}{\left(x+3\right)\left(x+2\right)}\cdot\left(-x+1\right)=\dfrac{-1\cdot\left(-x+1\right)}{x+2}=\dfrac{x-1}{x+2}\)
b3: \(x=\left(1-\dfrac{1}{2^2}\right)\left(1-\dfrac{1}{3^2}\right)\cdot...\cdot\left(1-\dfrac{1}{2024^2}\right)\)
\(=\left(1-\dfrac{1}{2}\right)\left(1-\dfrac{1}{3}\right)\cdot...\cdot\left(1-\dfrac{1}{2024}\right)\left(1+\dfrac{1}{2}\right)\cdot\left(1+\dfrac{1}{3}\right)\cdot...\cdot\left(1+\dfrac{1}{2024}\right)\)
\(=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{2}{3}\cdot...\cdot\dfrac{2023}{2024}\cdot\dfrac{3}{2}\cdot\dfrac{4}{3}\cdot...\cdot\dfrac{2025}{2024}=\dfrac{1}{2024}\cdot\dfrac{2025}{2}=\dfrac{2025}{4048}\)
Khi x=2025/4048 thì \(A=\dfrac{\dfrac{2025}{4048}-1}{\dfrac{2025}{4048}+2}=-\dfrac{2023}{10121}\)
Bài 5:
a: Xét tứ giác ADHE có \(\widehat{ADH}=\widehat{AEH}=\widehat{DAE}=90^0\)
nên ADHE là hình chữ nhật
=>AH=DE
Xét ΔHAB vuông tại H và ΔHCA vuông tại H có
\(\widehat{HAB}=\widehat{HCA}\left(=90^0-\widehat{HBA}\right)\)
Do đó: ΔHAB~ΔHCA
=>\(\dfrac{HA}{HC}=\dfrac{HB}{HA}\)
=>\(HA^2=HB\cdot HC\)
mà AH=DE
nên \(DE^2=HB\cdot HC\)
b: Xét ΔDAH vuông tại D và ΔDHB vuông tại H có
\(\widehat{DAH}=\widehat{DHB}\left(=90^0-\widehat{HBA}\right)\)
Do đó: ΔDAH~ΔDHB
=>\(\dfrac{DA}{DH}=\dfrac{DH}{DB}\)
=>\(DH^2=DA\cdot DB\)
Xét ΔEAH vuông tại E và ΔEHC vuông tại E có
\(\widehat{EAH}=\widehat{EHC}\left(=90^0-\widehat{C}\right)\)
Do đó: ΔEAH~ΔEHC
=>\(\dfrac{EA}{EH}=\dfrac{EH}{EC}\)
=>\(EH^2=EA\cdot EC\)
ADHE là hình chữ nhật
=>\(HA^2=HD^2+HE^2=DA\cdot DB+EA\cdot EC\)
c: ΔABC vuông tại A
mà AM là đường trung tuyến
nên AM=MC=MB
Xét ΔMAC có MA=MC
nên ΔMAC cân tại M
=>\(\widehat{MAC}=\widehat{MCA}\)
ADHE là hình chữ nhật
=>\(\widehat{AED}=\widehat{AHD}\)
mà \(\widehat{AHD}=\widehat{ABC}\left(=90^0-\widehat{HAB}\right)\)
nên \(\widehat{AED}=\widehat{ABC}\)
\(\widehat{AED}+\widehat{MAC}=\widehat{ABC}+\widehat{ACB}=90^0\)
=>AM\(\perp\)DE
