Question

Bài 2:

Cho \( ABC \) vuông tại \( A \). Vẽ ra phía ngoài tam giác đó các tam giác \( ABD \) vuông cân ở \( B \), \( ACF \) vuông cân ở \( C \).
Gọi \( H \) là giao điểm của \( AB \) và \( CD \), \( K \) là giao điểm của \( AC \) và \( BF \). Chứng minh rằng:

a) \( AH = AK \)

b) \( AH^2 = BH \cdot CK \)

Answer 1

Ta có tam giác ABC vuông tại A.

Dựng ra ngoài tam giác ABC tam giác ABD vuông cân tại B nên BA = BD.

Dựng ra ngoài tam giác ABC tam giác ACF vuông cân tại C nên CA = CF.

Gọi H là giao điểm của AB và CD, K là giao điểm của AC và BF.

a. Chứng minh AH = AK

Xét hai tam giác vuông AHB và AKC.

Ta có AB vuông góc AC nên góc HAB bằng góc KAC bằng 90 độ.

Lại có BA = CA.

Hai tam giác AHB và AKC bằng nhau.

Suy ra AH = AK.

b. Chứng minh AH^2 = BH nhân CK

Từ kết quả câu a suy ra AH = AK.

Xét các tam giác vuông ABH và ACK, áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có

AH^2 = BH nhân BA

AK^2 = CK nhân CA

Vì AH = AK và BA = CA nên

AH^2 = BH nhân CK.

Vậy điều phải chứng minh.