PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN
Môn: Toán 8
Thời gian: 120 phút (không kể thời gian phát đề)
Khóa thi: Ngày 20/5/2019
Đề chính thức
Bài 1. (6,0 điểm)
a. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: \( A = x^3 + 2019x^2 + 2019x + 2018 \)
b. Tìm các giá trị x và y thỏa mãn: \( \begin{cases} y + 3x = 7 \\ -4x - 2y = 5 \end{cases} \)
c. Chứng minh rằng với mọi giá trị của x thì biểu thức \( B = x^4 - 8x^2 + 8x + 59 \) không chia hết cho 5.
Bài 2. (4,0 điểm)
a. Với các số nguyên dương a, b, c thỏa mãn \( x^2 + x = 2(ab + bc + ca) \) luôn có nghiệm nguyên. Tìm a, b, c.
b. Chứng minh rằng với mọi số nguyên x thì biểu thức P một số chính phương.
\( P = (x+5)(x-7)(x^2+9x+11) + 16 \)
Bài 3 (3,0 điểm)
Cho biểu thức: \( A = \frac{x-1}{x+2} + \frac{x+3}{x-4} + \frac{x+5}{x-6} \)
a. Tính giá trị của A khi x = 0.
b. Rút gọn biểu thức A.
Bài 4. (5,0 điểm)
Cho tam giác ABC vuông tại A (AC > AB). Vẽ đường cao AH (H ∈ BC). Trên tia đối của tia BC lấy điểm K sao cho KI = HA. Qua K vẽ các đường thẳng vuông góc với AI, cắt đường thẳng AI tại M, N.
a. Chứng minh: Tam giác ABC đồng dạng với tam giác KPC.
b. G
Bài 4:
a: Ta có: KP//AH
AH\(\perp\)BC
Do đó: KP\(\perp\)BC tại K
Xét ΔCAB vuông tại A và ΔCKP vuông tại K có
\(\widehat{ACB}\) chung
Do đó: ΔCAB~ΔCKP
b: ΔABP vuông tại A
mà AQ là đường trung tuyến
nên \(AQ=\dfrac{BP}{2}\left(1\right)\)
ΔBKP vuông tại K
mà KQ là đường trung tuyến
nên \(KQ=\dfrac{BP}{2}\left(2\right)\)
Từ (1),(2) suy ra QA=QK
=>Q nằm trên đường trung trực của AK(1)
Ta có: HA=HK
=>H nằm trên đường trung trực của AK(2)
Từ (1),(2) suy ra QH là đường trung trực của AK
5:
Theo đề bài, \(\widehat{HAC}=\widehat{ABC}\)
=>Tam giác AHC cân tại H
Theo đề bài, ME cắt AH tại F.
Vì ME là đường trung tuyến của tam giác ABC (do M là TĐ AB), ta có AM = MB.
Theo định lý Thales trong tam giác ABH, ta có:
ME // BH
Suy ra \(\dfrac{AM}{MB}=\dfrac{AF}{FH}\)
Mà AM = MB, suy ra AF = FH.
Ta có:
Góc AEF = góc HEC (đ đ).
AF = FH (cmt).
Góc FAE = góc CHE (do AE là phân giác góc BAH).
Vậy tam giác AEF = tam giác HEC (g.c.g).
Từ tam giác AEF = tam giác HEC (chmt)
suy ra góc AEF = góc ECH.
Mà góc AEF và góc ECH là hai góc so le trong.
Vậy AE // CF (tính chất hai đường thẳng song song).
