Bài 11. Cho tam giác \( ABC \) vuông ở \( A \), đường cao \( AH \). Kẻ \( HD \perp AB \) và \( HE \perp AC \) (\( D \in AB, E \in AC \)). Gọi \( O \) là giao điểm của \( AH \) và \( DE \).
a) Chứng minh \( AH = DE \).
b) Gọi \( P \) và \( Q \) lần lượt là trung điểm của \( BH \) và \( CH \). Chứng minh tứ giác \( DEQP \) là hình thang vuông.
c) Chứng minh \( O \) là trực tâm tam giác \( ABQ \).
d) Chứng minh \( S_{ABC} = 2S_{DEQP} \).
a: Xét tứ giác ADHE có \(\widehat{ADH}=\widehat{AEH}=\widehat{DAE}=90^0\)
nên ADHE là hình chữ nhật
=>AH=DE
b:
Ta có: ΔCEH vuông tại E
mà EQ là đường trung tuyến
nên QE=QH
=>ΔQEH cân tại Q
=>\(\widehat{QEH}=\widehat{QHE}=\widehat{EHC}\)
Ta có: ΔHDB vuông tại D
mà DP là đường trung tuyến
nên PH=PD
=>ΔPHD cân tại P
=>\(\widehat{PDH}=\widehat{PHD}=\widehat{DHB}\)
ADHE là hình chữ nhật
=>\(\widehat{EDH}=\widehat{EAH}=\widehat{HAC}\)
ADHE là hình chữ nhật
=>\(\widehat{DEH}=\widehat{DAH}=\widehat{HAB}\)
\(\widehat{EDP}=\widehat{EDH}+\widehat{PDH}=\widehat{DHB}+\widehat{DBH}=90^0\)
=>ED\(\perp\)DP(1)
\(\widehat{QED}=\widehat{QEH}+\widehat{DEH}=\widehat{CHE}+\widehat{ECH}=90^0\)
=>EQ\(\perp\)ED(2)
Từ (1),(2) suy ra DP//EQ
=>DPQE là hình thang
mà EQ\(\perp\)ED
nên DPQE là hình thang vuông
c:
TA có: ADHE là hình chữ nhật
=>AH cắt DE tại trung điểm của mỗi đường
=>O là trung điểm chung của AH và DE
Xét ΔAHC có
Q,O lần lượt là trung điểm của HC,HA
=>QO là đường trung bình của ΔAHC
=>QO//AC
=>QO\(\perp\)AB
Xét ΔBAQ có
QO,AH là các đường cao
QO cắt AH tại O
Do đó: O là trực tâm của ΔBAQ
d:
Diện tích tam giác ABC là:
\(S_{ABC}=\dfrac{1}{2}\cdot AH\cdot BC\)
Diện tích hình thang vuông PDQE là:
\(S_{DEQP}=\dfrac{1}{2}\cdot\left(EQ+DP\right)\cdot ED\)
\(=\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{2}\cdot BH+\dfrac{1}{2}\cdot CH\right)\cdot AH\)
\(=\dfrac{1}{4}\cdot\left(BH+CH\right)\cdot AH=\dfrac{1}{4}\cdot AH\cdot BC\)
\(=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{2}\cdot AH\cdot BC=\dfrac{1}{2}\cdot S_{ABC}\)
=>\(S_{ABC}=2\cdot S_{DEQP}\)
