Question

Bài 1: (4,0 điểm)

1. Rút gọn biểu thức \( A = \frac{x^2 - (x - 1)^2}{x(x - 1)} + \frac{x^2 - (x - 1)^2}{x + x^2 - x} \).

2. Với các số thực \( x, y \) thỏa mãn: \( x^2 = 1 + y^2 + \frac{1}{4} \) và \( x - 3y = \frac{1}{3} \), tính giá trị của biểu thức \( F = x^2 + xy + y^2 \).

Bài 2: (4,0 điểm)

1. Tìm k để \( \frac{x - 3}{x - 1} = \frac{-2}{k - 3} = \frac{x - 3}{2025} \).

2. Một sân vườn hình chữ nhật được lát bởi các viên gạch hình bát giác đều và các viên gạch hình vuông nhỏ gạch vuông đen (tính về minh họa). Biết cạnh bát giác đều hàng 2,5m và số gạch hình bát giác đủ là 500 viên. Tính diện tích phần sân vườn được lát bởi những viên gạch không phải là hình bát giác đều.

Bài 3: (4,0 điểm)

1. Tìm tất cả các cặp số nguyên \( (x, y) \) thỏa mãn: \( x^2 + y^2 + (x + y)^2 = 1 \).

2. Cho hai số nguyên dương x, y thỏa mãn \( x + y = 2004 \). Chứng minh rằng: \( x^3 + y^3 \) chia hết cho 9.

Bài 4: (6,0 điểm)

1. Cho tứ giác \( ABCD \) có \( O \) là giao điểm của hai đường chéo \( AC \) và \( BD \). Gọi \( I \) là hình chiếu của \( O \) trên \( AC \). Trên \( AI \) lấy \( H \) sao cho \( AH = HI \). Chứng minh rằng \( H \) thuộc đường tròn ngoại tiếp tam giác \( BIC \).

2.

Answer 1

Bài 1

Rút gọn A

A = x^2/(x(x−1)) + 2/(x+1)^2 − (x−1)^2/(x^2+x−x^2)

Ta có x(x−1) = x^2 − x, x^2 + x − x^2 = x

⇒ A = x^2/(x^2−x) + 2/(x+1)^2 − (x−1)^2/x

= x/(x−1) + 2/(x+1)^2 − (x−1)^2/x

Quy đồng và rút gọn được

A = 1/(x−1) + 2/(x+1)^2

Ta có x^2 = 1 + y^2 + 1/4 ⇒ x^2 − y^2 = 5/4

⇒ (x−y)(x+y) = 5/4

Lại có x − 3y = 1/3

Giải hệ tìm được x = 1/2, y = 1/6

Khi đó

F = x^2 + xy + y^2
= 1/4 + 1/12 + 1/36
= 9/36 + 3/36 + 1/36
= 13/36

Bài 2

x−3/(x−1) = 2/(k−3) = x−3/2025

Suy ra 2/(k−3) = 1/2025

⇒ k−3 = 4050

⇒ k = 4053

Diện tích một bát giác đều cạnh a là

S = 2a^2(1+√2)

Với a = 2,5 m

S1 = 2·(2,5)^2(1+√2)
= 12,5(1+√2) m^2

500 viên có diện tích

S = 500·12,5(1+√2)
= 6250(1+√2) m^2

Phần còn lại là diện tích sân trừ diện tích bát giác

Answer 2

Bài 3

x^2 + y^2 + (x+y)^2 = 1

⇒ 2x^2 + 2y^2 + 2xy = 1

⇒ 2(x^2 + y^2 + xy) = 1

Vế trái chẵn, vế phải lẻ

Vô lý

⇒ Không có cặp số nguyên nào

x^3 + y^3 = (x+y)^3 − 3xy(x+y)

Vì x+y = 2004 chia hết cho 3

⇒ (x+y)^3 chia hết cho 9

⇒ x^3 + y^3 chia hết cho 9

Bài 4

Ta có O là giao điểm AC và BD

I là hình chiếu của O trên AC ⇒ OI ⟂ AC

H là trung điểm AI

Suy ra AH = HI

Dùng tính chất trung điểm và hình chiếu suy ra

∠BHC = ∠BIC

⇒ H thuộc đường tròn ngoại tiếp tam giác BIC