Question

Bài 7. Cho tam giác \( ABC \) có các đường phân giác \( AD, BE, CF \)

a. Chứng minh:
\[
\frac{DB}{DC} \cdot \frac{EC}{AE} \cdot \frac{FA}{FB} = 1
\]

b. Khi tam giác \( ABC \) cân tại \( A \), chứng minh \( EF \parallel BC \)

c. Biết \( \frac{AB}{AC} = \frac{2}{3} \), tính tỉ số diện tích hai tam giác \( ABD \) và \( ACD \).

Answer 1

a: Xét ΔABC có AD là phân giác

nên \(\dfrac{DB}{DC}=\dfrac{AB}{AC}\)

Xét ΔABC có BE là phân giác

nên \(\dfrac{EA}{EC}=\dfrac{BA}{BC};\dfrac{EC}{EA}=\dfrac{BC}{BA}\)

Xét ΔABC có CF là phân giác

nên \(\dfrac{BF}{FA}=\dfrac{BC}{CA}\)

\(\dfrac{DB}{DC}\cdot\dfrac{EC}{EA}\cdot\dfrac{BF}{FA}=\dfrac{AB}{AC}\cdot\dfrac{BC}{BA}\cdot\dfrac{BC}{CA}=1\)

b: \(\dfrac{EA}{EC}=\dfrac{BA}{BC};\dfrac{FA}{FB}=\dfrac{AC}{CB}\)

mà BA=AC(ΔABC cân tại A)

nên \(\dfrac{AE}{EC}=\dfrac{AF}{FB}\)

Xét ΔABC có \(\dfrac{AE}{EC}=\dfrac{AF}{FB}\)

nên EF//BC

c: Xét ΔABC có AD là phân giác

nên \(\dfrac{DB}{DC}=\dfrac{AB}{AC}\)

=>\(\dfrac{DB}{DC}=\dfrac{2}{3}\)

=>\(\dfrac{S_{ABD}}{S_{ACD}}=\dfrac{2}{3}\)