a) Xét 6 số bất kì. Khi chia mỗi số cho 8, số dư chỉ có thể là 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.
Ta ghép các số dư theo từng cặp có hiệu chia hết cho 8:
0 và 0, 1 và 1, 2 và 2, 3 và 3, 4 và 4, 5 và 5, 6 và 6, 7 và 7
hoặc 0 và 8, 1 và 9… nhưng vì chỉ xét theo mod 8 nên chỉ cần hai số có cùng số dư thì hiệu của chúng chia hết cho 8.
Vì có 6 số và chỉ có 8 loại số dư, nếu có hai số cùng dư khi chia cho 8 thì hiệu của chúng chia hết cho 8.
Do đó luôn tồn tại 2 số có hiệu chia hết cho 8.
b) Xét 7 số nguyên tố bất kì.
Một số nguyên tố lớn hơn 3 chỉ có thể cho dư 1, 5, 7, 11 khi chia cho 12 vì nếu dư 0, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 10 thì sẽ chia hết cho 2 hoặc 3 nên không phải số nguyên tố.
Vậy chỉ có 4 loại số dư có thể xảy ra: 1, 5, 7, 11.
Có 7 số nhưng chỉ có 4 loại số dư. Theo nguyên lí Dirichlet, tồn tại ít nhất 2 số có cùng số dư khi chia cho 12.
Hiệu của hai số đó chia hết cho 12.
Vậy trong 7 số nguyên tố bất kì luôn tồn tại 2 số có hiệu chia hết cho 12.
