Ta có tại B, góc ABC được chia thành 30 độ và 40 độ nên góc ABC = 70 độ
Tại C, góc ACB được chia thành 10 độ và 20 độ nên góc ACB = 30 độ
Suy ra trong tam giác ABC
góc A = 180 - 70 - 30 = 80 độ
Gọi x là góc BAP
Xét tam giác ABP có góc ABP = 30 độ
Xét tam giác PBC có góc PBC = 40 độ và góc PCB = 20 độ nên góc BPC = 180 - 40 - 20 = 120 độ
Xét tam giác APC có góc ACP = 10 độ
Dùng định lí Ceva lượng giác trong tam giác ABC với ba đường AP, BP, CP đồng quy tại P
ta có
sin góc BAP / sin góc PAC nhân sin góc CBP / sin góc PBA nhân sin góc ACP / sin góc PCB = 1
Thay số
sin x / sin(80 - x) nhân sin 40 / sin 30 nhân sin 10 / sin 20 = 1
Vì sin 40 / sin 20 = 2 cos 20 và sin 10 / sin 30 = sin 10 / 1/2 = 2 sin 10
suy ra
sin x / sin(80 - x) nhân 2 cos 20 nhân 2 sin 10 = 1
mà 2 sin 10 cos 20 = sin 30 = 1/2
nên vế trái bằng
sin x / sin(80 - x)
do đó
sin x = sin(80 - x)
suy ra x = 40 độ
