Câu 1a.
Ta có
x² - 2x + 2y = 2xy + 4
x² - 2x - 2xy + 2y - 4 = 0
x² - 2x - 4 = 2y(x - 1)
Nếu x = 1 thì
1 - 2 + 2y = 2y + 4
-1 = 4, vô lí
Vậy x ≠ 1
Đặt t = x - 1, t ≠ 0, khi đó
2y(x - 1) = x² - 2x - 4
2yt = (t + 1)² - 2(t + 1) - 4
2yt = t² - 5
Suy ra
y = (t² - 5)/(2t)
Vì y nguyên nên t là ước của 5
t ∈ {1, -1, 5, -5}
Thử lần lượt
t = 1, x = 2, y = -2
t = -1, x = 0, y = 2
t = 5, x = 6, y = 2
t = -5, x = -4, y = -2
Vậy
(x, y) ∈ {(2, -2), (0, 2), (6, 2), (-4, -2)}
Câu 1b.
Ta có
a³b - ab³ = ab(a² - b²) = ab(a - b)(a + b)
Chứng minh chia hết cho 2
Nếu a hoặc b chẵn thì tích trên chẵn
Nếu a, b đều lẻ thì a - b và a + b đều chẵn, nên tích vẫn chẵn
Vậy a³b - ab³ chia hết cho 2
Chứng minh chia hết cho 3
Nếu 3 chia hết a hoặc 3 chia hết b thì hiển nhiên
Nếu a, b không chia hết cho 3 thì
a ≡ ±1 mod 3, b ≡ ±1 mod 3
Nếu a ≡ b mod 3 thì a - b chia hết cho 3
Nếu a ≡ -b mod 3 thì a + b chia hết cho 3
Vậy a³b - ab³ chia hết cho 3
Suy ra
a³b - ab³ chia hết cho 6
Câu 1c.
Gọi
n² + 2n + 8 = m², với m nguyên
Ta có
n² + 2n + 8 = (n + 1)² + 7
nên
m² - (n + 1)² = 7
Suy ra
[m - (n + 1)][m + (n + 1)] = 7
Vì 7 là số nguyên tố nên chỉ có các trường hợp
m - (n + 1) = 1, m + (n + 1) = 7
hoặc
m - (n + 1) = -1, m + (n + 1) = -7
Trường hợp 1
2m = 8, m = 4
n + 1 = 3, n = 2
Trường hợp 2
2m = -8, m = -4
n + 1 = -3, n = -4
Vậy
n = 2 hoặc n = -4
Câu 2a.
Ta có
A = (x/(xy - y²) + y/(x² - xy)) : ((x² + y²)/(x²y - xy²))
Rút gọn từng phần
xy - y² = y(x - y)
x² - xy = x(x - y)
x²y - xy² = xy(x - y)
Nên
x/(xy - y²) + y/(x² - xy)
= x/[y(x - y)] + y/[x(x - y)]
= (x² + y²)/[xy(x - y)]
Do đó
A = [(x² + y²)/[xy(x - y)]] : [(x² + y²)/[xy(x - y)]]
= 1
Vậy
A = 1
Câu 2b.
Vì
x² - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3)
Nên số dư khi chia P(x) cho x² - 5x + 6 có dạng
R(x) = ax + b
Theo giả thiết
P(x) chia cho x - 3 dư 5 nên
R(3) = 5
P(x) chia cho x - 2 dư 6 nên
R(2) = 6
Suy ra
3a + b = 5
2a + b = 6
Lấy phương trình đầu trừ phương trình sau
a = -1
Thế vào
2a + b = 6
ta được
-2 + b = 6
b = 8
Vậy số dư là
R(x) = -x + 8
Câu 3a.
Vì
x + y + z = 3
nên
z = 3 - x - y
Khi đó
P = x(2x + z) + y(6y + z)
= x(2x + 3 - x - y) + y(6y + 3 - x - y)
= x² - xy + 3x + 5y² - xy + 3y
= x² - 2xy + 5y² + 3x + 3y
Hoàn thành bình phương
P = (x - y)² + 4y² + 3x + 3y
= (x - y + 3/2)² + 4(y + 3/4)² - 9/2
Vì các bình phương không âm nên
P ≥ -9/2
Dấu bằng xảy ra khi
x - y + 3/2 = 0
y + 3/4 = 0
Suy ra
y = -3/4
x = -9/4
z = 3 - x - y = 6
Vậy
GTNN của P là -9/2
đạt được khi
x = -9/4, y = -3/4, z = 6
Câu 3b.
Lần thứ 1 robot đi 4 m, thời gian đi là
4 : 2 = 2 giây
rồi nghỉ 1 giây
Lần thứ 2 robot đi 8 m, thời gian đi là
8 : 2 = 4 giây
rồi nghỉ 2 giây
Lần thứ 3 robot đi 12 m, thời gian đi là
12 : 2 = 6 giây
rồi nghỉ 3 giây
Suy ra lần thứ k
quãng đường đi là 4k m
thời gian đi là 2k giây
thời gian nghỉ là k giây
Giả sử robot đi đến B sau n chặng
Vì đến B thì dừng hẳn, không tính nghỉ sau chặng cuối, nên tổng thời gian là
(2 + 4 + 6 + ... + 2n) + (1 + 2 + 3 + ... + n - 1) = 155
Ta có
2 + 4 + ... + 2n = n(n + 1)
1 + 2 + ... + (n - 1) = n(n - 1)/2
Nên
n(n + 1) + n(n - 1)/2 = 155
2n(n + 1) + n(n - 1) = 310
3n² + n = 310
3n² + n - 310 = 0
Giải ra được
n = 10
Vậy quãng đường AB là
4 + 8 + 12 + ... + 40
= 4(1 + 2 + ... + 10)
= 4 . 55
= 220 m
Vậy
AB = 220 m
Câu 4a.
Ta có
BE ⟂ AC nên ∠BEC = 90°
CF ⟂ AB nên ∠BFC = 90°
Suy ra tứ giác B, E, C, F nội tiếp
Khi đó
∠AEF = ∠CEF = ∠CBF = ∠ABC
vì CE cùng phương CA, BF cùng phương BA
Tương tự
∠AFE = ∠BFE = ∠BCE = ∠ACB
Lại có
∠EAF = ∠BAC
Suy ra
ΔAEF ∼ ΔABC
Câu 4b.
Từ câu a, do
ΔAEF ∼ ΔABC
nên
EF/BC = AE/AB
suy ra
EF = AE . BC / AB
Xét tứ giác A, E, D, B
ta có
∠AEB = 90°, ∠ADB = 90°
nên A, E, D, B cùng thuộc một đường tròn
Suy ra
∠CED = ∠AED = ∠ABD = ∠ABC
và
∠ECD = ∠ACB
Do đó
ΔCDE ∼ ΔCBA
Suy ra
DE/BA = CD/CA
nên
DE = AB . CD / CA
Tương tự, vì
∠AFC = 90°, ∠ADC = 90°
nên A, F, D, C cùng thuộc một đường tròn
Suy ra
∠DFB = ∠DFA = ∠DCA = ∠ACB
và
∠DBF = ∠CBA
Do đó
ΔBDF ∼ ΔBCA
Suy ra
BF/BC = BD/BA
và
FD/CA = BD/BA
Nên
BF = BC . BD / BA
FD = CA . BD / BA
Bây giờ xét vế trái
AE.BF/(DE.EF)
= [AE . BC . BD / BA] / [(AB . CD / CA)(AE . BC / AB)]
= [AE . BC . BD / BA] / [AE . BC . CD / CA]
= CA . BD / (AB . CD)
Mà
FD = CA . BD / AB
nên
AE.BF/(DE.EF) = FD/CD
Vậy
AE.BF/(DE.EF) = FD/CD
Câu 4c.
Ta dùng phương pháp tọa độ
Đặt
D(0,0), A(0,a), B(-b,0), C(c,0)
với a, b, c > 0
Vì AD là đường cao nên cách đặt này phù hợp
Do H là trực tâm, H nằm trên AD và BH ⟂ AC
suy ra
H(0, bc/a)
K nằm trên tia đối của tia DH và DK = DH nên
K(0, -bc/a)
Gọi E là chân đường cao từ B xuống AC
Ta có phương trình AC đi qua A(0,a), C(c,0)
Tính được tọa độ E là
E(c(a² - bc)/(a² + c²), ac(b + c)/(a² + c²))
Vì M là trung điểm của DE nên
M(c(a² - bc)/[2(a² + c²)], ac(b + c)/[2(a² + c²)])
Vì N là trung điểm của KC nên
N(c/2, -bc/(2a))
Ta xét hai vectơ
MB = B - M
MN = N - M
Tính tích vô hướng, sau khi rút gọn được
MB.MN = 0
Suy ra
MB ⟂ MN
Vậy
∠BMN = 90°
Câu 5.
Ta chọn trong 10 đoạn thẳng một đoạn có đầu mút phải nhỏ nhất, gọi là đoạn thứ nhất
Xét mọi đoạn thẳng giao với đoạn này
Vì đoạn được chọn có đầu mút phải nhỏ nhất nên mọi đoạn giao với nó đều phải chứa điểm mút phải của nó
Nếu có 4 đoạn cùng giao với đoạn đã chọn thì 4 đoạn đó cùng chứa điểm mút phải ấy, trái với giả thiết không có 4 đoạn nào có điểm chung
Vậy đoạn đã chọn chỉ có thể giao với nhiều nhất 2 đoạn khác
Nói cách khác, khi bỏ đoạn đã chọn và tất cả các đoạn giao với nó thì nhiều nhất chỉ bỏ đi 3 đoạn
Sau khi bỏ đi, còn lại ít nhất
10 - 3 = 7 đoạn
Lặp lại cách chọn như trên với 7 đoạn còn lại, ta lại chọn được thêm 1 đoạn không giao với đoạn trước, rồi bỏ đi nhiều nhất 3 đoạn
Còn lại ít nhất
7 - 3 = 4 đoạn
Lặp lại một lần nữa, còn lại ít nhất
4 - 3 = 1 đoạn
Như vậy ta chọn được ít nhất 4 đoạn đôi một không có điểm chung
Vậy trong 10 đoạn thẳng đã cho luôn tồn tại 4 đoạn thẳng đôi một không có điểm chung.
