a: Để \(n^2+45\) là số chính phương thì \(n^2+45=k^2\left(k\in N\right)\)
=>\(n^2-k^2=-45\)
=>(n-k)(n+k)=-45
=>(n-k;n+k)∈{(1;-45);(-45;1);(3;-15);(15;-3);(5;-9);(-9;5);(-1;45);(45;-1);(-3;15);(15;-3);(-5;9);(9;-5)}
TH1: n-k=1 và n+k=-45
=>n-k+n+k=1-45=-44
=>n=-22(loại)
TH2: n-k=-45 và n+k=1
=>n-k+n+k=-45+1=-44
=>2n=-44
=>n=-22(loại)
TH3: n-k=3 và n+k=-15
=>n-k+n+k=3-15
=>2n=-12
=>n=-6(loại)
TH4: n-k=-15 và n+k=3
=>n-k+n+k=-15+3=-12
=>2n=-12
=>n=-6(loại)
TH5: n-k=5 và n+k=-9
=>n-k+n+k=5-9=-4
=>2n=-4
=>n=-2(loại)
TH6: n-k=-9 và n+k=5
=>n-k+n+k=-9+5=-4
=>2n=-4
=>n=-2(loại)
TH7: n-k=-1 và n+k=45
=>n-k+n+k=-1+45=44
=>2n=44
=>n=22(nhận)
Khi n=22 thì \(n^2+45=22^2+45=484+45=529=23^2\) là số chính phương
=>Nhận
TH8: n-k=45 và n+k=-1
=>n-k+n+k=-1+45=44
=>2n=44
=>n=22(nhận)
Khi n=22 thì \(n^2+45=22^2+45=484+45=529=23^2\) là số chính phương
=>Nhận
TH9: n-k=-3 và n+k=15
=>n-k+n+k=-3+15=12
=>2n=12
=>n=6
Khi n=6 thì \(n^2+45=6^2+45=36+45=81=9^2\) là số chính phương
=>Nhận
TH10: n-k=15 và n+k=-3
=>n-k+n+k=-3+15=12
=>2n=12
=>n=6
Khi n=6 thì \(n^2+45=6^2+45=36+45=81=9^2\) là số chính phương
=>Nhận
TH11: n-k=-5 và n+k=9
=>n-k+n+k=-5+9=4
=>2n=4
=>n=2
Khi n=2 thì \(n^2+45=2^2+45=4+45=49=7^2\) là số chính phương
=>Nhận
TH12: n-k=9 và n+k=-5
=>n-k+n+k=-5+9=4
=>2n=4
=>n=2
Khi n=2 thì \(n^2+45=2^2+45=4+45=49=7^2\) là số chính phương
=>Nhận
Vậy: n∈{2;6}
b: Để \(n^2-2n-14\) là số chính phương thì \(n^2-2n-14=k^2\)
=>\(n^2-2n+1-15=k^2\)
=>\(\left(n-1\right)^2-k^2=15\)
=>(n-1-k)(n-1+k)=15
=>(n-1-k;n-1+k)∈{(1;15);(15;1);(-1;-15);(-15;-1);(3;5);(5;3);(-3;-5);(-5;-3)}
TH1: n-k-1=1 và n+k-1=15
=>n-k-1+n+k-1=1+15
=>2n-2=16
=>2n=18
=>n=9(nhận)
Khi n=9 thì \(n^2-2n-14=9^2-2\cdot9-14=81-18-14=81-32=49=7^2\) là số chính phương
=>NHận
TH2: n-k-1=15 và n+k-1=1
=>n-k-1+n+k-1=1+15
=>2n-2=16
=>2n=18
=>n=9(nhận)
Khi n=9 thì \(n^2-2n-14=9^2-2\cdot9-14=81-18-14=81-32=49=7^2\) là số chính phương
=>NHận
TH3: n-k-1=3 và n+k-1=5
=>n-k-1+n+k-1=3+5
=>2n-2=8
=>2n=10
=>n=5(nhận)
Khi n=5 thì \(n^2-2n-14=5^2-2\cdot5-14=25-10-14=1=1^2\) là số chính phương
TH4: n-k-1=5 và n+k-1=3
=>n-k-1+n+k-1=3+5
=>2n-2=8
=>2n=10
=>n=5(nhận)
Khi n=5 thì \(n^2-2n-14=5^2-2\cdot5-14=25-10-14=1=1^2\) là số chính phương
TH5: n-k-1=-1 và n+k-1=-15
=>n-k-1+n+k-1=-1-15
=>2n-2=-16
=>2n=-14
=>n=-7(loại)
TH6: n-k-1=-15 và n+k-1=-1
=>n-k-1+n+k-1=-1-15
=>2n-2=-16
=>2n=-14
=>n=-7(loại)
TH7: n-k-1=-3 và n+k-1=-5
=>n-k-1+n+k-1=-3-5
=>2n-2=-8
=>2n=-6
=>n=-3(loại)
TH8: n-k-1=-5 và n+k-1=-3
=>n-k-1+n+k-1=-3-5
=>2n-2=-8
=>2n=-6
=>n=-3(loại)
Vậy: n∈{5;9}
