Câu 1.
a)
Ta có
A = 1^2 + 2^2 + 3^2 + ... + 55^2 + 56^2
= 56.57.113 / 6
= 8.107.113
= 96728
Xét modulo 8
Ta có
1^2 ≡ 1, 2^2 ≡ 4, 3^2 ≡ 1, 4^2 ≡ 0, 5^2 ≡ 1, 6^2 ≡ 4, 7^2 ≡ 1, 8^2 ≡ 0 (mod 8)
nên cứ 8 số liên tiếp thì tổng các bình phương ≡ 4 (mod 8)
Vì
56 = 7.8
nên
A ≡ 7.4 = 28 ≡ 4 (mod 8)
Mà số chính phương chỉ có thể đồng dư 0, 1, 4 modulo 8, nên cách này chưa kết luận ngay, ta xét chính xác:
A = 96728
313^2 = 97969, 312^2 = 97344, 311^2 = 96721
Suy ra
311^2 = 96721 < 96728 < 97344 = 312^2
Vậy A không là số chính phương
Giải thích: tính tổng ra A, rồi kẹp A giữa hai số chính phương liên tiếp là 311^2 và 312^2, nên A không thể là số chính phương
b)
Ta có
B = 5^n + 23^n + 2022^n, với n lẻ
Xét modulo 4
Ta có
5 ≡ 1 (mod 4) nên 5^n ≡ 1 (mod 4)
23 ≡ 3 (mod 4), mà n lẻ nên 23^n ≡ 3^n ≡ 3 (mod 4)
2022 ≡ 2 (mod 4), mà n >= 1 nên 2022^n ≡ 0 (mod 4)
Do đó
B ≡ 1 + 3 + 0 ≡ 0 (mod 4)
Xét tiếp modulo 8
Ta có
5^n ≡ 5 (mod 8) vì n lẻ
23 ≡ 7 (mod 8) nên 23^n ≡ 7 (mod 8) vì n lẻ
2022 ≡ 6 (mod 8), mà n lẻ nên 2022^n ≡ 6 (mod 8)
Suy ra
B ≡ 5 + 7 + 6 = 18 ≡ 2 (mod 8)
Mà số chính phương modulo 8 chỉ có thể là 0, 1, 4
nhưng
B ≡ 2 (mod 8)
Vậy B không thể là số chính phương với mọi số tự nhiên lẻ n
Giải thích: chỉ cần chứng minh B cho số dư 2 khi chia cho 8, trong khi số chính phương không bao giờ có số dư 2 khi chia cho 8, nên B không là số chính phương.
