c.
Qua B kẻ đường thẳng song song AC, qua C kẻ đường thẳng song song AB, chúng cắt nhau tại D
\(\Rightarrow ABDC\) là hình vuông
Đặt hệ trục Oxyz vào chóp, với các tia Ox, Oy, Oz lần lượt trùng các tia CA, CD, CS
Quy ước a là 1 đơn vị độ dài, đặt \(\dfrac{t}{a}=x\) với \(0< x< 2\)
\(C\left(0,0,0\right)\), \(B\left(\sqrt{2};\sqrt{2};0\right)\) ; \(S\left(0;0;\sqrt{2}\right)\); \(A\left(\sqrt{2};0;0\right)\)
\(N\left(\dfrac{x\sqrt{2}}{2};\dfrac{x\sqrt{2}}{2};0\right)\); \(M\left(\dfrac{\left(2-x\right)\sqrt{2}}{2};0;\dfrac{x\sqrt{2}}{2}\right)\)
\(\Rightarrow\overrightarrow{SA}=\left(\sqrt{2};0;-\sqrt{2}\right)\)
\(\overrightarrow{CB}=\left(\sqrt{2};\sqrt{2};0\right)\)
\(\overrightarrow{MN}=\left(\sqrt{2}\left(x-1\right);\dfrac{x\sqrt{2}}{2};-\dfrac{x\sqrt{2}}{2}\right)\)
MN là đoạn vuông góc chung
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\overrightarrow{MN}.\overrightarrow{SA}=0\\\overrightarrow{MN}.\overrightarrow{CB}=0\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}2\left(x-1\right)+x^2=0\\2\left(x-1\right)+x^2=0\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow x^2+2x-2=0\Rightarrow x=\sqrt{3}-1\)
Hay \(t=\left(\sqrt{3}-1\right)a\)
a.
Kẻ MH vuông góc AC
Thales: \(\dfrac{MH}{SC}=\dfrac{AM}{SA}\Rightarrow MH=\dfrac{SC.AM}{SA}=\dfrac{a\sqrt{2}.t}{2a}=\dfrac{t\sqrt{2}}{2}\)
\(\dfrac{CH}{AC}=\dfrac{SM}{SA}\Rightarrow CH=\dfrac{AC.SM}{SA}=\dfrac{a\sqrt{2}.\left(2a-t\right)}{2a}=\dfrac{\left(2a-t\right)\sqrt{2}}{2}\)
Định lý hàm cos:
\(HN^2=CN^2+CH^2-2CN.CH.cos45^0=\dfrac{5t^2-8at+4a^2}{2}\)
\(MN=\sqrt{MH^2+HN^2}=\sqrt{3t^2-4at+2a^2}\)
b.
\(MN=\sqrt{3\left(t-\dfrac{2}{3}a\right)^2+\dfrac{5a^2}{3}}\ge\sqrt{\dfrac{5a^2}{3}}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(t=\dfrac{2a}{3}\)
