Rất là hỏi chấm với bài toán này (chắc ko phải 1 đề bài chính thức, vì muốn giải thì phải có máy tính để giải pt bậc 3, thường trong những đề chính thức người ta sẽ chỉ cần học sinh có máy tính với chức năng "tối thiểu")
Đặt hệ trục vào bản đồ, OC và OE là Ox và Oy, quy ước 10m là 1 đơn vị độ dài
Ta có: \(A\left(0;4\right);B\left(2;0\right);I\left(4;3\right)\)
Trước hết ta chứng minh điều sau (đây là mấu chốt của bài toán):
Với 1 điểm C thuộc parabol, và 1 điểm D thuộc đường tròn, thì khoảng cách CD nhỏ nhất khi và chỉ khi C, D, I thẳng hàng
Chứng minh (đơn giản):
Nối IC cắt đường tròn tại E, theo BĐT tam giác CDI:
\(CD+ID\ge IC\Leftrightarrow CD+ID\ge CE+IE\)
\(\Leftrightarrow CD\ge CE\) (do \(ID=IE=R\))
Do đó CD ngắn nhất khi D trùng E, tức C, D, I thẳng hàng
Vậy \(CE=IC-IE=IC-R=IC-1\)
Do đó CE nhỏ nhất khi IC nhỏ nhất
Parabol (P) đỉnh A qua B có pt: \(y=-x^2+4\)
C thuộc (P) nên tọa độ: \(C\left(x;-x^2+4\right)\Rightarrow\overrightarrow{IC}=\left(x-4;-x^2+1\right)\)
\(IC^2=f\left(x\right)=\left(x-4\right)^2+\left(-x^2+1\right)^2\)
\(f'\left(x\right)=2\left(2x^3-x-4\right)=0\Rightarrow x\approx1,39177\)
\(CE_{min}=17,71\left(m\right)\)
