a: Xét ΔAEB vuông tại E và ΔAFC vuông tại F có
\(\hat{EAB}\) chung
Do đó: ΔAEB~ΔAFC
=>\(\frac{AE}{AF}=\frac{AB}{AC}\)
=>\(\frac{AE}{AB}=\frac{AF}{AC}\)
Xét ΔAEF và ΔABC có
\(\frac{AE}{AB}=\frac{AF}{AC}\)
góc EAF chung
Do đó: ΔAEF~ΔABC
b: ΔAEF~ΔABC
=>\(\frac{AE}{AB}=\frac{EF}{BC}\)
=>\(\frac{AE}{EF}=\frac{AB}{BC}\)
Xét ΔBFC vuông tại F và ΔBDA vuông tại D có
\(\hat{FBC}\) chung
Do đó: ΔBFC~ΔBDA
=>\(\frac{BF}{BD}=\frac{BC}{BA}\)
=>\(\frac{BF}{BC}=\frac{BD}{BA}\)
Xét ΔBFD và ΔBCA có
\(\frac{BF}{BC}=\frac{BD}{BA}\)
góc FBD chung
Do đó: ΔBFD~ΔBCA
=>\(\frac{BF}{BC}=\frac{FD}{CA}\)
=>\(BF=FD\cdot\frac{BC}{CA}\)
Xét ΔCEB vuông tại E và ΔCDA vuông tại D có
\(\hat{ECB}\) chung
Do đó: ΔCEB~ΔCDA
=>\(\frac{CE}{CD}=\frac{CB}{CA}\)
=>\(\frac{CE}{CB}=\frac{CD}{CA}\)
Xét ΔCED và ΔCBA có
\(\frac{CE}{CB}=\frac{CD}{CA}\)
góc ECD chung
Do đó: ΔCED~ΔCBA
=>\(\frac{CD}{CA}=\frac{DE}{BA}\)
=>\(DE=CD\cdot\frac{AB}{CA}\)
\(\frac{AE\cdot BF}{DE\cdot EF}=\frac{AE}{EF}\cdot\frac{BF}{DE}\)
\(=\frac{AB}{BC}\cdot\frac{FD\cdot BC}{CA}:\frac{CD\cdot AB}{AC}=\frac{AB\cdot FD}{CA}\cdot\frac{AC}{CD\cdot AB}=\frac{FD}{CD}\)
