Bài 4:
a: Xét tứ giác ADHP có
AD//HP
AP//DH
Do đó: ADHP là hình bình hành
Hình bình hành ADHP có \(\widehat{PAD}=90^0\)
nên ADHP là hình chữ nhật
=>AH=DP
b: ΔABC vuông tại A
mà AM là đường trung tuyến
nên MA=MC
=>ΔMAC cân tại M
c: Ta có: AHDP là hình chữ nhật
=>\(\widehat{APD}=\widehat{AHD}\)
=>\(\widehat{APD}=\widehat{ABC}\)
\(\widehat{NAP}+\widehat{NPA}=\widehat{ABC}+\widehat{ACB}=90^0\)
=>ΔNAP vuông tại N
Bài 3:
a: Xét tứ giác MEHN có \(\widehat{MEH}=\widehat{MNH}=\widehat{NME}=90^0\)
nên MEHN là hình chữ nhật
b: Xét tứ giác MHKP có
T là trung điểm chung của MK và HP
=>MHKP là hình bình hành
c: Ta có: MHKP là hình bình hành
=>\(\widehat{PKH}=\widehat{PMH}=\widehat{NMH}\left(1\right)\)
ta có: MEHN là hình chữ nhật
=>\(\widehat{NMH}=\widehat{NEH}=\widehat{NEK}\left(2\right)\)
Từ (1),(2) suy ra \(\widehat{PKE}=\widehat{NEK}\)
Ta có: MHKP là hình bình hành
=>KH//MP và KH=MP
Ta có: KH//MP
HE//MP
mà KH,HE có điểm chung là H
nên K,H,E thẳng hàng
=>KE//NP
Xét tứ giác PNEK có PN//EK và \(\widehat{PKE}=\widehat{NEK}\)
nên PNEK là hình thang cân
d: Ta có: MEHN là hình chữ nhật
=>MH=EN và O là trung điểm chung của MH và EN
Ta có: MHKP là hình bình hành
=>MH=KP
=>\(MO=\dfrac{1}{2}KP\)
Xét ΔDOM và ΔDPK có
\(\widehat{DOM}=\widehat{DPK}\)(hai góc so le trong, OM//PK)
\(\widehat{ODM}=\widehat{PDK}\)(hai góc đối đỉnh)
Do đó: ΔDOM~ΔDPK
=>\(\dfrac{DM}{DK}=\dfrac{MO}{PK}=\dfrac{1}{2}\)
=>\(\dfrac{MD}{MK}=\dfrac{1}{3}\)
=>MK=3MD
