Bài 1:
a: Xét ΔHBA vuông tại H và ΔABC vuông tại A có
\(\widehat{HBA}\) chung
Do đó: ΔHBA~ΔABC
=>\(\dfrac{AH}{AC}=\dfrac{BA}{BC}\)
=>\(AH\cdot BC=AB\cdot AC\)
b: Xét ΔAMH vuông tại M và ΔAHB vuông tại H có
\(\widehat{MAH}\) chung
Do đó: ΔAMH~ΔAHB
=>\(\dfrac{AM}{AH}=\dfrac{AH}{AB}\)
=>\(AM\cdot AB=AH^2\left(1\right)\)
Xét ΔANH vuông tại N và ΔAHC vuông tại H có
\(\widehat{NAH}\) chung
Do đó: ΔANH~ΔAHC
=>\(\dfrac{AN}{AH}=\dfrac{AH}{AC}\)
=>\(AN\cdot AC=AH^2\left(2\right)\)
Từ (1),(2) suy ra \(AM\cdot AB=AN\cdot AC\)
=>\(\dfrac{AM}{AC}=\dfrac{AN}{AB}\)
Xét ΔAMN vuông tại A và ΔACB vuông tại A có
\(\dfrac{AM}{AC}=\dfrac{AN}{AB}\)
Do đó: ΔAMN~ΔACB
c: ΔABC vuông tại A
=>\(BC^2=AB^2+AC^2\)
=>\(BC=\sqrt{6^2+8^2}=10\left(cm\right)\)
\(AH=\dfrac{AB\cdot AC}{BC}=\dfrac{6\cdot8}{10}=4,8\left(cm\right)\)
Xét tứ giác AMHN có \(\widehat{AMH}=\widehat{ANH}=\widehat{MAN}=90^0\)
nên AMHN là hình chữ nhật
=>MN=AH=4,8(cm)
ΔAMN~ΔACB
=>\(\dfrac{S_{AMN}}{S_{ABC}}=\left(\dfrac{MN}{BC}\right)^2=\left(\dfrac{4.8}{10}\right)^2=\left(\dfrac{12}{25}\right)^2\)
=>\(S_{AMN}=\dfrac{144}{625}\cdot24=5,5296\left(cm^2\right)\)
=>\(S_{BMNC}=24-5,5296=18,4704\left(cm^2\right)\)
Bài 3:
a: Xét ΔANB vuông tại N và ΔAPC vuông tại P có
\(\widehat{NAB}\) chung
Do đó: ΔANB~ΔAPC
=>\(\dfrac{AN}{AP}=\dfrac{AB}{AC}\)
=>\(\dfrac{AN}{AB}=\dfrac{AP}{AC}\)
=>\(AN\cdot AC=AB\cdot AP\)
b: Xét ΔANP và ΔABC có
\(\dfrac{AN}{AB}=\dfrac{AP}{AC}\)
\(\widehat{NAP}\) chung
Do đó: ΔANP~ΔABC
c: Xét ΔHEP vuông tại E và ΔHFN vuông tại F có
\(\widehat{EHP}=\widehat{FHN}\)(hai góc đối đỉnh)
Do đó: ΔHEP~ΔHFN
=>\(\dfrac{HE}{HF}=\dfrac{HP}{HN}\)
=>\(\dfrac{HE}{HP}=\dfrac{HF}{HN}\)
Xét ΔHPB vuông tại P và ΔHNC vuông tại N có
\(\widehat{PHB}=\widehat{NHC}\)(hai góc đối đỉnh)
Do đó: ΔHPB~ΔHNC
=>\(\dfrac{HP}{HN}=\dfrac{HB}{HC}\)
=>\(\dfrac{HP}{HB}=\dfrac{HN}{HC}\)
Xét ΔHPN và ΔHBC có
\(\dfrac{HP}{HB}=\dfrac{HN}{HC}\)
\(\widehat{PHN}=\widehat{BHC}\)(hai góc đối đỉnh)
Do đó: ΔHPN~ΔHBC
Xét ΔHEF và ΔHPN có
\(\dfrac{HE}{HP}=\dfrac{HF}{HN}\)
\(\widehat{EHF}=\widehat{PHN}\)(hai góc đối đỉnh)
Do đó: ΔHEF~ΔHPN
=>\(\widehat{HEF}=\widehat{HPN}\)
mà \(\widehat{HPN}=\widehat{HBC}\)
nên \(\widehat{HEF}=\widehat{HBC}\)
=>EF//BC
