Bài 7:
a: Ta có: \(BE=EC=\dfrac{BC}{2}\)
\(AF=FD=\dfrac{AD}{2}\)
\(AB=CD=\dfrac{AD}{2}\)
mà BC=AD
nên BE=EC=AF=FD=AB=CD
Xét tứ giác BEFA có
BE//AF
BE=AF
Do đó: BEFA là hình bình hành
Hình bình hành BEFA có BE=BA
nên BEFA là hình thoi
b: Xét tứ giác ECDF có
EC//DF
EC=DF
Do đó: ECDF là hình bình hành
Hình bình hành ECDF có EC=CD
nên ECDF là hình thoi
c: ABCD là hình bình hành
=>\(\widehat{BCD}=\widehat{BAD}=60^0;\widehat{ABC}=\widehat{ADC}=180^0-60^0=120^0\)
Xét ΔCED có CE=CD và \(\widehat{ECD}=60^0\)
nên ΔCED đều
=>\(\widehat{CED}=60^0\)
Ta có: \(\widehat{CED}+\widehat{BED}=180^0\)(hai góc kề bù)
=>\(\widehat{BED}+60^0=180^0\)
=>\(\widehat{BED}=120^0\)
Xét tứ giác ABED có BE//AD và \(\widehat{ABE}=\widehat{BED}=120^0\)
nên ABED là hình thang cân
d: Xét ΔABF có AB=AF và \(\widehat{BAF}=60^0\)
nên ΔABF đều
=>BF=AF=AD/2
Xét ΔABD có
BF là đường trung tuyến
\(BF=\dfrac{AD}{2}\)
Do đó: ΔABD vuông tại B
=>BD\(\perp\)MA tại B
Ta có: BM=BA
BA=CD
Do đó: BM=CD
Xét tứ giác BMCD có
BM//CD
BM=CD
Do đó: BMCD là hình bình hành
Hình bình hành BMCD có \(\widehat{MBD}=90^0\)
nên BMCD là hình chữ nhật
e: ta có: BMCD là hình chữ nhật
=>BC cắt MD tại trung điểm của mỗi đường
mà E là trung điểm của BC
nên E là trung điểm của MD
=>M,E,D thẳng hàng
Bài 8:
a: Xét ΔABC có
M,N lần lượt là trung điểm của AB,AC
=>MN là đường trung bình của ΔABC
=>MN//BC và \(MN=\dfrac{1}{2}BC=BP=PC\)
Xét tứ giác BMNC có MN//BC và \(\widehat{MBC}=\widehat{NCB}\)(ΔABC cân tại A)
nên BMNC là hình thang cân
b: Xét tứ giác BMNP có
MN//BP
MN=BP
Do đó: BMNP là hình bình hành
=>MP và BN cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường
=>MP đi qua trung điểm của BN
c: Xét ΔABC có
M,P lần lượt là trung điểm của BA,BC
=>MP là đường trung bình của ΔABC
=>MP//AC và \(MP=\dfrac{AC}{2}=AN=NC\)
Ta có: \(AM=MB=\dfrac{AB}{2}\)
\(AN=NC=\dfrac{AC}{2}\)
mà AB=AC
nên AM=MB=AN=NC
Xét tứ giác AMPN có
MP//AN
MP=AN
Do đó: AMPN là hình bình hành
Hình bình hành AMPN có AM=AN
nên AMPN là hình thoi
d: Để hình thoi AMPN là hình vuông thì \(\widehat{MAN}=90^0\)
=>\(\widehat{BAC}=90^0\)
